Aufgabe:
(a) Für die Funktion \( f(x, y)=3 x^{3}-x y+3 y^{2}+x+y \) bestimme man die stationären Punkte und entscheide, ob dort Maxima oder Minima vorliegen.
(b) Für die Funktion aus (a) sind die Extremwerte unter der Nebenbedingung \( g(x, y)= \) \( x-y=0 \) zu bestimmen.
Ansatz/Problem:
Könnte mir jemand bei der Bestimmung der stationären Punkte helfen?
Also, ich weiß wie das geht:
(1) Grad stellen
(2) Grad = 0 stellen
(3) Hesse Matrix
(4) Definitheit bestimmen (indefinit-stationärer punkt; negativ definit - maximum, positiv definit - minimum)
Nur leider schafe ich nicht nach dem punkt (2).
Also, ableiten:
f/dx = 9x2 - y + 1
f/dy = -x + 6y + 1
Jetzt weiß ich nicht was ich weiter machen soll, ich habe all möglichen kombinationen versucht:
die erste gleichung gegen y stellen und in die zweite stellen, die zweite gegen x oder y stellen und in die erste gleichung stellen, zweite gleichung + erste; erste - zweite und so weiter. aber jedes mall kommt mir etwas raus so wie hier:
(II) x = 6y + 1 (in die erste gleichung stellen:
9(6y + 1)2 - y + 1 =0
9( 36y2 + 12y + 1) - y + 1 = 0
324y2 + 108y + 9 -y + 1 = 0
342y2 + 107y + 10 = 0
D = b2 - 4ac => (107)2 - 4*324*10 => 11449 - 12960 = - 1511
Y1,2 = (-b ± √D)/2a = > (-107 ± √-1511)/648.
Doch das geht nicht weiter.
Geht das?? Hat irgend jemand da eine ide??