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Aufgabe:

(a) Für die Funktion \( f(x, y)=3 x^{3}-x y+3 y^{2}+x+y \) bestimme man die stationären Punkte und entscheide, ob dort Maxima oder Minima vorliegen.

(b) Für die Funktion aus (a) sind die Extremwerte unter der Nebenbedingung \( g(x, y)= \) \( x-y=0 \) zu bestimmen.


Ansatz/Problem:

Könnte mir jemand bei der Bestimmung der stationären Punkte helfen?

Also, ich weiß wie das geht:

(1) Grad stellen
(2) Grad = 0 stellen
(3) Hesse Matrix
(4) Definitheit bestimmen (indefinit-stationärer punkt; negativ definit - maximum, positiv definit - minimum)

Nur leider schafe ich nicht nach dem punkt (2).

Also, ableiten:
f/dx = 9x2 - y + 1
f/dy = -x + 6y + 1

Jetzt weiß ich nicht was ich weiter machen soll, ich habe all möglichen kombinationen versucht:

die erste gleichung gegen y stellen und in die zweite stellen, die zweite gegen x oder y stellen und in die erste gleichung stellen, zweite gleichung + erste; erste - zweite und so weiter. aber jedes mall kommt mir etwas raus so wie hier:

(II) x = 6y + 1 (in die erste gleichung stellen:

9(6y + 1)2 - y + 1 =0
9( 36y2 + 12y + 1) - y + 1 = 0
324y2 + 108y + 9 -y + 1 = 0
342y2 + 107y + 10 = 0

D = b2 - 4ac => (107)2 - 4*324*10 => 11449 - 12960 = - 1511

Y1,2 = (-b ± √D)/2a = > (-107 ± √-1511)/648.

Doch das geht nicht weiter.

Geht das?? Hat irgend jemand da eine ide??

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1 Antwort

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Also Deine Lösungen sind korrekt aber imaginär. Suchst Du reelle staionäre Punkte bist Du hier am Ende, denn die gibt es nicht.

Avatar von 39 k

und was soll ich jetzt machen??? also gibt es die Stationären punkte nicht??

Ja genau.                  

ok, und was mache ich jetzt mit der nebenbedingung g(x,y) unter (b)???

Die Lagrangefunktion lautet

$$  L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y) $$

Du musst \( L_x = 0 \), \( L_y = 0 \) und \( L_\lambda = 0 \) nach \( x, y, \lambda \) auflösen und dann die Hessematrix berechnen.

Warte, meinst du so:L(x,y,λ) = 3x3 - xy + 3y2 +x + y + λ(x-y) = >=> 3x3 - xy + 3y2 +x + y + λx - λy
Lx = 9x2 - y + 1 + λ =0 (I)Ly = -x + 6y + 1 - λ =0 (II)Lλ = x - y                 =0 (III)
Aber jetzt kommt da ein problem für mich.So zum bsp:(III) ich stelle x = y(II) stelle ich nach λ um und bekomme:λ = 6y - x + 1, das stelle ich in (I)
und bekomme:9x2 - y + 1 + 6y - x + 1 = 0 =>
=> 9x2 + 5y - x + 2 = 0 (X=y einsetzen) =>
=> 9y2 + 5y - y + 2 =0 =>
=> 9y2 + 4y + 2 = 0D = b2 - 4ac 
   = (4)2 - 4*2*9 = 16 - 72
D = - 56Ich habe schon wieder eine negative diskriminante und ich komme nicht weiter.Mach ich irgendwo einen fehler oder bin ich stroh dumm???

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