Das LN fällt doch weg sobald du die Lagrange-Funktion ableitest. Du hast also eigentlich später denke ich nie mit einem LN zu tun.
Ich schau mal ob ich das irgendwie allgemein hin bekomme. Also ganz ohne Werte. Wo ein --> auftritt solltest du selber auflösen.
U(x, y) = a·LN(x) + b·LN(y)
Preis für x ist p ; Preis für y ist q ; Budget m
Nebenbedingung: p·x + q·y = m --> y = (m - p·x)/q
Lagrange Funktion: L = a·LN(x) + b·LN(y) - k·(p·x + q·y - m)
dL/dx = a/x - k·p = 0 --> k = a/(p·x)
dL/dy = b/y - k·q = 0
b/((m - p·x)/q) - (a/(p·x))·q = 0 --> x = a·m/(p·(a + b))
y = (m - p·x)/q
y = (m - p·(a·m/(p·(a + b))))/q = b·m/(q·(a + b))