Stochastik; Wahrscheinlichkeit für Ziehung aller Farben in unbegrenzter Urne bei variabler Anzahl an gezogenen Kugeln.

Question

Ich habe eine Frage zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit im folgenden Fall:

Ich habe n Kugeln in 4 unterschiedlichen Farben (rot, blau, grün und gelb) in einem unendlichen Reservoir (jeweils mit der selben Wahrscheinlichkeit, 1/4, vorhanden). 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Kugel jeder Farbe zu bekommen, abhängig von der Anzahl x der gezogenen Kugeln.

Bei vier gezogenen Kugeln komme ich noch ohne Probleme zum Ziel, aber bei 5 oder mehr Kugeln habe ich Probleme. Leider besitze ich auch keine Musterlösung und komme derzeit nicht weiter. Ausserdem habe ich auch keine Idee wie ich generell bei einer anderen Menge an Farben vorgehen soll. Vielen Dank für die Hilfe bereits im Voraus.

Comments

Wo hast Du die Aufgabe her? Allgemein werden solche Aufgaben unter der Überschrift als "Sammlerproblem" zusammengefasst. Die Herleitung der Lösung ist nicht so einfach, die Lösung selbst dann schon.

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HI, ich habe die Aufgabe nicht so direkt gestellt bekommen, sondern bin bei einer persönlichen Idee auf ein Problem gestoßen, bei dem ich die Lösung auf diese Frage benötige. Die Lösung mit dem Sammlerproblem ist zwar schon mal gut, aber natürlich würde mich schon auch interessieren, wie man auf die betreffende formel kommt. Bisher habe ich aber schon allein durch den richtigen Namen "Sammelbildproblem" einige Infos finden Koennen (zb. http://www.stefanbartz.de/dateien/Was-tun-bei-Mammutbaeumen.pdf, http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/coupon.pdf). Vielen Dank also schon mal. Wenn hier allerdings noch jemand die Herleitung kennt, kann er sich gern noch mal melden.  Danke