Wie bestimme ich eine Ellipse in zweiter Hauptlage durch "X"-Punkte?

Question

Gegeben sei wie bereits erwähnt eine Ellipse zweiter Hauptlage

x²/b² + y²/a² = 1 bzw. a²x² + b²y² = a²b²

deren Mittelpunkt (0/0) ist. 

Ich dachte eine Ellipse ist durch 5 Punkte bestimmt (bin mir jedoch nicht sicher).

Daher sollen zudem die Punkte: P₁(-3,66/ 52,5) P₂ (3,66/ 52,5) P₃ (-9,15/ 0) P₄ (9,15/0) und (falls nötig) P₅ (3,66/ -52,5) gegeben sein.

Trotz Abitur in Sachsen (2014) wurden Ellipsen nicht unterrichtet, sodass ich auf Hilfe angewiesen bin, wenn ich die entsprechenden Gleichungssysteme lösen möchte.

Vielen Dank :)

Answer 1

Um die Ellipse zu bestimmen setzt du in $$a^2x^2+b^2y^2=a^2b^2$$ die gegebene Punkte ein. Dann bekommst du jeweils eine Gleichung wobei die unbekannte Variablen a und b sind, die du dann auch findest. 

Comments

Zunächst vielen Dank!

Ich bitte mögliche Unannehmlichkeiten zu entschuldigen, aber wäre es möglich, dass sie mir den Lösungsweg zu einer (dieser) Ellipse vorrechnen? Die Gleichungen zu weitere Ellipsen sollte ich dann selbst schaffen.  

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Man nimmt z.B. die Punkte P₁(-3,66/ 52,5)  und P₃ (-9,15/ 0) dann haben wir folgendes: 

$$a^2(-9.15)^2+b^2(0)^2=a^2b^2 \Rightarrow (9.15)^2a^2=a^2b^2 \Rightarrow (9.15)^2=b^2 \Rightarrow b=9.15$$ 

$$a^2(-3.66)^2+b^2(52.5)^2=a^2b^2 \Rightarrow a^2(-3.66)^2+(9.15)^2(52.5)^2=a^2(9.15)^2 \\ \Rightarrow a^2((3.66)^2-(9.15)^2)=-(9.15)^2(52.5)^2 \Rightarrow a=57.2822$$ 

Answer 2

P₂ (3,66 / 52,5)
P₄ (9,15 / 0)

a²x² + b²y² = a²b²

a^2 * 3.66^2 + b^2 * 52.5^2 = a^2 * b^2
a^2 * 9.15^2 + b^2 * 0^2 = a^2 * b^2
b = 9.15

a= 57.28

57.28^2 * x^2 + 9.15^2 * y^2 = 57.28^2 * 9.15^2

Alle anderen Punkte stimmen wegen x^2 und y^2 sowieso.

Comments

Gern geschehen.

Vorbemerkung : hier im Forum wird üblicherweise das " du " verwendet.

Ich bitte mögliche Unannehmlichkeiten zu entschuldigen,
aber wäre es möglich, dass sie mir den Lösungsweg zu einer
(dieser) Ellipse vorrechnen? Die Gleichungen zu weitere
Ellipsen sollte ich dann selbst schaffen.   

a² * 3.66² + b² * 52.5² = a² * b²

a² * 9.15² + b² * 0² = a² * b²
a^2 * 9.15^2 + 0 = a^2 * b^2
a^2 * 9.15^2 = a^2 * b^2   | : a^2
9.15^2 = b^2
b = 9.15 ( auch - 9.15 )

a² * 3.66² + b² * 52.5² = a² * b²
a² * 3.66² + 9.15² * 52.5² = a² * 9.15^2
a^2 * 9.15^2 - a^2 * 3.66^2 = 9.15^2 * 52.5^2
a^2 * ( 9.15^2 - 3.66^2 ) = 230760
a^2 * 70.3269 = 230760
a^2 = 3281.248
a= 57.28 ( auch - 57.28 )

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

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Bin gerade dabei ein mathematisches Modell zu "entwerfen" deshalb wird das sicher nicht die letzte Frage sein. Bin dir für jede Hilfe dankbar :)

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Nur zu. Solltest du Größeres vorhaben empfiehlt es sich
Fragen als " Neu " einzustellen. Du erhöhst damit die
Anzahl potentieller Antwortgeber.

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Also ist die allgemeine Form für eine Ellipse zweiter Hauptlage (um die Ellipsengleichung zu erhalten):

a²x² + b²y² = a²b² 

P₁ (x₁/y₁)   P₂(x₂/y₂) in die Gleichung einsetzten

I:  a²(x1)² + b²(y₁)² = a²b² 

II: a²(x₂)² + b²(y₂)² = a²b² 

und das Gleichungssystem nach a und b lösen? 

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und dann natürlich a und b in

x²/b² + y²/a² = 1

einsetzen.

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Ich bin kein Spezialist für Ellipsenberechnungen.
Offensichtlich wird zwischen 1. und 2.Hauptlage unterschieden.
( siehe die entsprechenden Artikel im Internet )

Notwendig zur Berechnung sind 2 Punkte deren Koordinten
sich im Betrag unterscheiden müssen.
( 1 | 2 )  und ( -1 | 2 )  wäre also nicht ausreichend
da ( 1 )^2 und ( -1 )^2  vom Betrag her gleich sind.

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Gut das ist bei den, zum Model gehörenden Punkten der Fall. Unter dieser Bedingung ist diese allgemeine Form ansonsten komplett?

Und wenn ich die Ellipsen nur in einem bestimmten Intervall betrachten will, würde es reichen anzugeben, dass z.B. für y gelten soll:

[-l/2, l/2] = {y∈ℝ; -l/2 ≤ y ≤ l/2}

wobei "l" eine einfache Variable sein soll? (die entsprechende Grafik für die Nutzung bei mehreren Ellipsen ist im Anhang bzw. oben)

für weitere Fragen bezüglich der Darstellung von Ellipsen in R³ als Körper erstelle ich also besser eine seperate Frage?

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So richtig verstehe ich nicht was du meinst.

Der Stand der Dinge :

Ellipsengleichung für eine Ellipse in der 1.Hauptlage

x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1

Sind dir 2 Punkte bekannt, die nicht irgendwie über Spiegelungen
an den Achsen gleich sind, kannst du a und b berechnen.

Sind dir a und b bekannt kannst die alle Ellipsenpunkte berechnen
oder die Ellipse zeichnen.

Was hast du weiteres vor ? Du kannst auch eine neue Frage stellen.

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Um es einfacher zu machen:

Ich möchte die Graphen der Ellipsengleichungen (in diesem Fall der zweiten Hauptlage) in einem bestimmten Intervall betrachten.

So wie man auch Graphen anderer Funktionen nur in einem bestimmten Bereich betrachten möchte. Ich dachte mit einem solchen Intervall würde es gehen lediglich die Funktionswerte in diesem abgeschlossenen Intervall zu betrachten?

Und die allgemeine Bildungsform wird natürlich zunächst gebraucht um die Funktionsgleichungen durch die entsprechenden Punkte zu bestimmen (wobei die Punkte sich im Betrag unterscheiden).

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Ich nehme die Formel für die 1.Hauptlage

x² / a² + y² / b² = 1
y  = b *  ±√ ( 1 - x^2 / a )

f ( x )   = b *  ±√ ( 1 - x^2 / a )

Und dann gibt es du einen Defintionsbereich an z.B.

D = x  < a / 2

Falls deine Funktionswerte nur in einem bestimmten Bereich liegen
sollen kannst du den Definitionsbereich berechnen oder ( habe ich
allerdings noch nicht gesehen )
W = [ -b /2 ; b / 2 ]

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Du meinst den Wertebereich

Wƒ = [ Variable 1 ; Variable 2]

als Einschränkung der Funktionsgleichung verwenden?

So weit ich mich erinnere hat man das auch in der Schule gemacht, wenn der Lehrer wollte, dass nur ein bestimmter Intervall betrachtet werden soll. Wäre ja eine sehr praktische Lösung, wenn ich nichts übersehen habe, dass dafür sorgt, dass man das so nicht ausdrücken kann.