Senkrechten Vektor und Abstand vom Ursprung 0

Question

ich hänge im Moment fest beziehungsweise bin unschlüssig ob ich überhaupt richtig liege.

Zuerst muss ich einen senkrechten Vektor zu h1:= 3x₂+4x₃=10

finden. So wie ich das verstehe, muss der Vektor

$$ \begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}$$

als Skalarprodukt mit dem senkrechten Vektor = 0 ergeben. Also wäre z. B. ein senkrechter Vektor

$$

\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{matrix}

$$

Oder irre ich mich hier? Und was ist mit der = 10 bei der Angabe? Wird diese nicht beachtet oder muss das Salarprodukt gar nicht 0 sein, sondern 10 ergeben?

Dann muss ich noch den Abstand d des Ursprungs 0 von h1 berechnen. Hier verstehe ich irgendwie dann wieder nichts, wäre super, wenn mir jemand hier sagen könnte wie das funktioniert.

Vielen, für die Hilfe :).

Answer 1

h1: 3x₂+4x₃=10

Das ist eine Ebene. Der Normalenvektor der senkrecht zur Ebene ist ist [0, 3, 4]

Die Gerade die durch den Ursprung verläuft und senkrecht zur Ebene ist hat demnach die Parameterform

g: X = r * [0, 3, 4]

Es wäre immer hilfreich wenn du deine Aufgabe richtig und vollständig mit notieren würdest. Ein Vektor allein hat niemals einen Abstand zum Koordinatenursprung.

Comments

Oh, vielen Dank. Die Aufgabe lautet vollständig so:

Gegeben seien eine Ebene H1 und eine Ebenenschar H2 mit dem reellen Scharparameter a.

H1: 3 x2 + 4 x3 = 10

H2: x1 + a x2 + x3 = 0

a) Geben Sie einen zu H1 senkrechten Vektor n1 an, und berechnen Sie dessen Betrag

b) Wie groß ist der Abstand d des Ursprungs 0 von H1? – Berechnen Sie d.

Mehr ist auch nicht gegeben, die Aufgabe habe ich von einem Kommilitonen.

---

a) Geben Sie einen zu H1 senkrechten Vektor n1 an, und berechnen Sie dessen Betrag 

Der Vektor ist wie ich gesagt habe

n1 = [0, 3, 4]

|n1| = √(0^2 + 3^2 + 4^2) = 5

b) Wie groß ist der Abstand d des Ursprungs 0 von H1? – Berechnen Sie d.

3·y + 4·z = 10

Ebene in Abstandsform bringen

d = (3·y + 4·z - 10) / 5

Und den Ursprung einsetzen

d = |(3·0 + 4·0 - 10)| / 5 = 2

Der Abstand des Ursprungs von der Ebene beträgt also 2.

---

Du bist ein Genie! Ich hatte das vorhin schon so, nur hat mich das Ursprungszeug irretiert. Vielen, vielen Dank. Wie ist das nun mit H2 wenn es um sen Vektor und den Betrag geht?

Wäre der Vektor dann einfach:

1

a

1

?

Und wie berechnet man bei so was den Betrag? , Herr Mathecoach :).

---

Ja. Der Vektor ist dann [1, a, 1] und der Betrag entsprechend √(1^2 + a^2 + 1^2) = √(2 + a^2)