Umkehrfunktion der Halbkreisfunktion g(x)=(25-x^2)^{1/2}?

Question

Umkehrfunktion der Halbkreisfunktion? Wie sieht die Umkehrfunktion der halbkreisfunktion aus und was kann man über sie geometrisch sagen?

Frage von dieser Frage:

gegeben ist eine halbkreisfunktion g(x)=(25-x^2)^{1/2}.
ich hab deren umkehrfunktion ausgerechnet: g^{-1} (x)=(25-x^2) ^{1/2}

 

also irgendwie das gleiche. und jetzt steht da vergleichen sie die gleichungen und edrläutern sie das ergebnis geometrisch?

Comments

Die Halbkreisfunktion ist nicht umkehrbar eindeutig, die Umkehrung ist also keine Funktion mehr. Nun kann man sich allenfalls noch anschauen, wie der Graph dieser Relation aussieht.

Answer 1

Hier ist mal deine Halbkreisfunktion und die erste Hauptdiagonale eingezeichnet. 

Weisst du, das man die Umkehrfunktion, bei Spiegelung an der ersten Hauptdiagonalen bekommt. Was passiert denn, wenn du den Halbkreis an der Diagonalen spiegelst. Richtig. Im ersten Quadranten sind Funktion und Umkehrfunktion gleich. Da unsere Funktion einen Wertebereich von 0 bis 5 hat ist die Umkehrfunktion also eigentlich eh nur im ersten für [0, 5] definiert.

Comments

Na ja, das ist zwar schön und gut, aber nicht ganz richtig. Die Umkehrung der (oberen) Halbkreisfunktion ist ein (rechter) Halbkreis und das ist keine Funktion mehr sondern nur noch eine Relation. Der Definitionsbereich des (oberen) Halbkreises muss geeignet eingeschränkt werden, um eine umkehrbare Funktion zu erhalten.

---

Ja das Problem hat man z.B. auch bei der Umkehrfunktion von

f(x) = x^2

Die Umkehrung wäre eine nach rechts geöffnete Parabel. Das ist allerdings auch keine Funktion mehr.

Beschränkt man sich dann jedoch nur auf einen Teil als Umkehrfunktion bekommt man

g(x) = √x