Ind. vor:
Die Formel gilt für alle k aus N bis zu einem n , also grad(T
k) = k für alle k ≤n
Dann ist
T
n+1 (x)= 2x * T
n(x) - T
n-1 (x) Dann hat 2x * Tn(x) den grad n+1 und T
n-1 (x) den grad n-1.
Dann wird bei der Differenz der höchste Koeffizient von 2x * Tn(x) nicht verändert, also hat das
Ergebnis den grad n+1. q.e.d
beta: Annahme ist wohl klar .
Ind.vor: Sei für alle k aus N bis n gültigt Tk(1) = 1 und Tk(-1) = (-1)^k
Dann ist
T
n+1(1) = 2*1 * T
n(1) - T
n-1(1) = = 2 * 1 * 1 - 1 = 1 q.e.d.
ebenso bie -1: ..............
T n+1(1) = 2*(-1) *(-1)^n - (-1)n-1 und für gerades n gibt das
= 2 *(- 1) * 1 - (-1) denn n-1 ist dann ja ungerade
= -2 +1 = -1 = (-1)n+1 denn n+1 ist auch ungerade
für ungerades n
= 2 *(- 1) *(- 1) - (+1) denn n-1 ist dann ja gerade
= 2 - 1 = 1 = (-1)
n+1 denn n+1 ist dann ja gerade .
