Skizzieren einer Kurve Tf: bis jetzt für f Gerade durch (0,0) und (1,0), läuft Tf über (0,0), (0,1/2),…

Question

Kann mir vielleicht jemand bei einer der Teilaufgaben helfen?

Sei C die Menge aller stetigen Funktionen (Kurven) f: [0,1] → [0,1]² , mit f(t) = (X(t), Y(t)) und so, dass f(0)=(0,0) und f(1)=(1,0).

Gegeben ist f ∈ C und definiere eine neue Funktion Tf: [0,1] → [0,1]² durch

\( (T f)(t)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}(Y(4 t), X(4 t)) & t \in\left[0, \frac{1}{4}\right] \\ \frac{1}{2}(X(4 t-1), 1+Y(4 t-1)) & t \in\left[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right] \\ \frac{1}{2}(1+X(4 t-2), 1+Y(4 t-2)) & t \in\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right] \\ \frac{1}{2}(2-Y(4 t-3), 1-X(4 t-3)) & t \in\left[\frac{3}{4}, 1\right]\end{array}\right. \)

(a) Skizzieren Sie eine solche Kurve f und die dazu gehörigen Kurven Tf und T(Tf).

(b) Zeigen Sie, dass f ∈ C ⇒ Tf ∈ C.

(c) Zeigen Sie, dass für f, g ∈ C gilt:

\( \max _{t \in[0,1]}|f(t)-g(t)| \leq M \quad \Rightarrow \quad \max _{t \in[0,1]}|T f(t)-T g(t)| \leq \frac{M}{2} \)

(d) Sei f₀ ∈ C und definiere induktiv f_k+1 = Tf_k für k∈ℕ. Verwenden Sie (c) um zu zeigen, dass die Folge f_k gleichmäßig auf [0,1] konvergiert und dass das Limes f_∞(t):= lim_k→∞ f_k(t) eine Funktion in C ist.

(e) Zeigen Sie, dass die Limeskurve f_∞ aus (d) unabhängig von der Anfangskurve f₀ ist und dass f_∞: [0,1] → [0,1]² surjektiv ist (d.h zu jedem (x,y)∈[0,1]² existiert t ∈ [0,1], so dass f_∞(t) = (x,y). Hinweis: finden Sie eine geeignete Würfelschachtelung für (x,y)).

Ich habe bei a) bis jetzt, dass f eine Gerade ist, die durch (0,0) und (1,0) läuft und dass Tf über (0,0), (0,1/2), (1/2,1/2), (1,1/2), (1,0) verläuft, stimmt das? Wie sieht die Kurve T(Tf) aus?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Skizzieren einer Kurve Tf und T(Tf) für eine gegebene Funktion f

Um eine solche Kurve und deren Transformationen Tf und T(Tf) zu skizzieren, ist es hilfreich, mit einer einfachen Annahme für f zu beginnen und auf dieser Basis die Transformationen durchzuführen.

Gegeben ist, dass \(f\) eine Gerade ist, die durch \( (0,0) \) und \( (1,0) \) verläuft. Also ist \(f(t) = (t, 0)\) für \( t \) im Intervall \([0, 1]\).

Schritt 1: Skizzierung von Tf

Die Transformationsvorschrift für \(Tf\) ist stückweise definiert. Basierend auf der Annahme \(f(t) = (t, 0)\), berechnen wir \(Tf(t)\) für die vier definierten Intervalle:

1. \( t \in [0, 1/4] \):
- \(Tf(t) = \frac{1}{2}(Y(4t), X(4t)) = \frac{1}{2}(0, 4t) = (0, 2t)\)

2. \( t \in [1/4, 1/2] \):
- \(Tf(t) = \frac{1}{2}(X(4t-1), 1 + Y(4t-1)) = \frac{1}{2}(4t-1, 1) = (2t-1/2, 1/2)\)

3. \( t \in [1/2, 3/4] \):
- \(Tf(t) = \frac{1}{2}(1 + X(4t-2), 1 + Y(4t-2)) = \frac{1}{2}(4t-1, 1) = (2t-1/2, 1/2)\)

4. \( t \in [3/4, 1] \):
- \(Tf(t) = \frac{1}{2}(2 - Y(4t-3), 1 - X(4t-3)) = \frac{1}{2}(2, 1-(4t-3)) = (1, 2-2t)\)

Daraus ergeben sich Punkte für \(Tf\) bei \( (0,0) \), \( (0,1/2) \), \( (1/2,1/2) \), und \( (1,0) \), welche die Eckpunkte einer "Strecke" bilden, die über die gegebenen Punkte verläuft. Bestätigt, was vorher genannt wurde.

Schritt 2: Skizzierung von T(Tf)

Für \(T(Tf)\) wiederholen wir den Prozess, diesmal ausgehend von der bereits transformierten Funktion \(Tf\). Da \(T(Tf)\) erneut die Transformation \(T\) anwendet, würden wir erneut vier Intervalle durchgehen. Aufgrund der Komplexität der Funktion und der daraus resultierenden Vielzahl möglicher Werte, ist eine Berechnung ohne spezifische Informationen zur ursprünglichen Funktion \(f\) komplex. Jedoch, basierend auf der Transformationseigenschaft und unter Berücksichtigung der Streckung und Spiegelung in den verschiedenen Intervallen, können wir sagen, dass \(T(Tf)\) eine nochmals "verschachtelte" Version der Kurve \(Tf\) sein wird, die detaillierter die einzelnen Transformationen in sich selbst widerspiegelt.

Zusammenfassung und Visualisierung:

- f: Eine einfache Linie von \( (0,0) \) zu \( (1,0) \).
- Tf: Erstellt eine Kurve, die über \( (0,0) \), \( (0,1/2) \), \( (1/2,1/2) \), \( (1,1/2) \), \( (1,0) \) verläuft - eine Art "Schritt" oder "Treppe".
- T(Tf): Würde eine noch detailliertere Schachtelung basierend auf den Eigenschaften von \(Tf\) zeigen, mit jeder Abschnitt weiter in kleinere "Schritte" oder "Treppen" unterteilt, die sich aus der wiederholten Anwendung der Transformation ergeben.

Jedes T-fache der Anwendung der Transformation \(T\) erhöht die Detailtiefe und "zersplittert" die Kurve weiter innerhalb des Einheitsquadrats, wobei die Grundgestalt beibehalten wird, aber in immer kleineren Skalierungen.

Ergänzungen:

a) Skizzieren Sie eine solche Kurve f und die dazu gehörigen Kurven Tf und T(Tf)

Die Kurve \( f \) als Gerade, die durch \( (0,0) \) und \( (1,0) \) verläuft, lässt sich mathematisch beschreiben durch \( f(t) = (t, 0) \) für \( t \in [0,1] \).

Für \( Tf \) gilt folgende Definition auf den unterschiedlichen Intervallen:
1. Für \( t \in [0, \frac{1}{4}] \):
\( (Tf)(t) = \frac{1}{2}(Y(4t), X(4t)) = \frac{1}{2}(0, t) = (0, \frac{t}{2}) \)
2. Für \( t \in [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}] \):
\( (Tf)(t) = \frac{1}{2}(X(4t-1), 1+Y(4t-1)) = \frac{1}{2}(t, 1) = (\frac{t}{2}, \frac{1}{2}) \)
3. Für \( t \in [\frac{1}{2}, \frac{3}{4}] \):
\( (Tf)(t) = \frac{1}{2}(1+X(4t-2), 1+Y(4t-2)) = \frac{1}{2}(1+t, 1) = (\frac{1}{2} + \frac{t}{2}, \frac{1}{2}) \)
4. Für \( t \in [\frac{3}{4}, 1] \):
\( (Tf)(t) = \frac{1}{2}(2-Y(4t-3), 1-X(4t-3)) = \frac{1}{2}(2, 1-t) = (1, \frac{1}{2} - \frac{t}{2}) \)

Dies führt zu einer Kurve, die wie folgt aussieht:
- Start bei \( (0,0) \)
- Anstieg vertikal bis \( (0, \frac{1}{2}) \)
- Horizontale Bewegung nach rechts bis \( (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \)
- Weiter horizontal bis \( (1, \frac{1}{2}) \)
- Vertikal nach unten zurück zu \( (1,0) \)

b) Skizzieren der Kurve T(Tf)

Nun müssen wir \( T(Tf) \) basierend auf der Kurve \( Tf \) berechnen:
- Wir setzen \( (Tf)(t) \) in die Definition von \( T \) ein und berechnen für jedes Intervall.
- Dies würde eine detaillierte Berechnung für jedes \( t \)-Intervall benötigen, ähnlich dem obigen Schritt für \( Tf \).

Ohne konkretes Ausrechnen der Kurve \( T(Tf) \) können wir jedoch sagen, dass die Transformation \( T \) dazu tendiert, die Kurve "zu falten" und zu skalieren, was zu einer Art fraktalen oder selbstähnlichen Struktur führen könnte.

Diese fraktalen Eigenschaften spiegeln die Komplexität der iterativen Anwendung von \( T \) auf eine einfache Eingabekurve wider. Bei wiederholter Anwendung von \( T \) auf \( f \) konvergiert die Folge der Kurven \( f_k \) möglicherweise gegen eine Grenzkurve, die in den Teilen (d) und (e) der Frage angesprochen wird.

Um weiter über die Kurve \( T(Tf) \) zu sprechen und ihre spezifische Form zu berechnen, gehen wir schrittweise vor, indem wir die Transformation \( T \) auf \( Tf \) anwenden. Hierzu verwenden wir die bereits berechnete Form von \( Tf \) und setzen sie in die Definition von \( T \) ein.

Berechnung von \( T(Tf) \)

Wir wissen, dass \( Tf \) in vier Teile zerlegt ist, die jeweils einem bestimmten Intervall entsprechen. Wir wenden nun \( T \) auf jedes dieser Teilstücke an:

1. Für \( t \in [0, \frac{1}{4}] \)**, wobei \( Tf(t) = (0, \frac{t}{2}) \):
\( (T(Tf))(t) = \frac{1}{2}(Y(4t), X(4t)) = \frac{1}{2}(\frac{4t}{2}, 0) = (0, t) \)

2. Für \( t \in [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}] \)**, wobei \( Tf(t) = (\frac{t}{2}, \frac{1}{2}) \):
\( (T(Tf))(t) = \frac{1}{2}(X(4t-1), 1+Y(4t-1)) = \frac{1}{2}(\frac{4t-1}{2}, 1+\frac{1}{2}) = (\frac{t}{2} - \frac{1}{4}, \frac{3}{4}) \)

3. Für \( t \in [\frac{1}{2}, \frac{3}{4}] \)**, wobei \( Tf(t) = (\frac{1}{2} + \frac{t}{2}, \frac{1}{2}) \):
\( (T(Tf))(t) = \frac{1}{2}(1+X(4t-2), 1+Y(4t-2)) = \frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}+\frac{4t-2}{2}, 1+\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{t}{2}, \frac{3}{4}) \)

4. Für \( t \in [\frac{3}{4}, 1] \)**, wobei \( Tf(t) = (1, \frac{1}{2} - \frac{t}{2}) \):
\( (T(Tf))(t) = \frac{1}{2}(2-Y(4t-3), 1-X(4t-3)) = \frac{1}{2}(2-\frac{1}{2}+\frac{4t-3}{2}, 1-1) = (1 - \frac{t}{2}, 0) \)

Diese Berechnung zeigt, dass \( T(Tf) \) eine noch komplexere Kurve bildet, die allerdings weiterhin innerhalb des Einheitsquadrats \( [0,1]^2 \) verbleibt und stückweise lineare Segmente aufweist.

Dies illustriert die fraktale Natur der wiederholten Anwendung der Transformation \( T \) und zeigt, wie sich die Kurve bei jeder Iteration weiterentwickelt und komplizierter wird. Diese Eigenschaft ist zentral für die Fragen (d) und (e), in denen die Konvergenz der Kurvenfolge und die Surjektivität der Grenzkurve behandelt werden.