Beweis zweier Aussagen bezüglich Konvergenz

Question

 ich sitze jetzt schon lange an der folgenden Aussage und komme einfach nicht voran, vielleicht

Zeige oder widerlege, ob die folgenden zwei Aussagen wahr sind:

(a) (a_n)_n∈ℕ konvergiert ⇔ ∀ε>0 ∃N∈ℕ ∀p∈ℕ ∀n≥N : |a_n - a_n+p| < ε

(b) (a_n)_n∈ℕ konvergiert ⇔ ∀ε>0 ∃N∈ℕ ∃p∈ℕ ∀n≥N : |a_n - a_n+p| < ε

Mir ist bewusst, dass entweder a und b wahr sind, oder nur b, jedoch weiß ich nicht, wie ich dies beweisen kann.

Danke schonmal für die Hilfe und einen schönen Abend noch :)

Comments

Schon mal was vom Cauchy-Kriterium gehoert? Erkenne es in (a) oder (b) wieder.

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Wir hatten das Cauchy-Kriterium definiert als
∀ε>0 ∃N∈ℕ ∀n,m≥N : |a_n - a_m| < ε

Bezogen auf die Aufgabe kann ich jetzt m=n+p setzen oder? und m ist dann ja automatisch größer als N, weil wir ja zu n noch p addieren, und p positiv ist, richtig? Somit würde die Aussage (a) wahr sein.
Kann ich dann sagen, dass (b) automatisch auch wahr ist, da aus der Aussage, dass es für alle p gilt, ja auch folgt dass es für (mindestens) ein p gilt?

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"Kann ich dann sagen, dass (b) automatisch auch wahr ist, da aus der Aussage, dass es für alle p gilt, ja auch folgt dass es für (mindestens) ein p gilt?"

Das Argument reicht nur für eine Richtung. Bei (b) wird aber Aequivalenz behauptet.

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Ah, stimmt, dankeschön :)

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Heey, was ist jetzt bei dem zweiten? Kann mir das einer erklären ?