De L'Hospital Regel bei x^x anwenden

Question

Hi :)

Ich soll hier die Regel von L'Hospital anwende, weiß jedoch nicht wie :/

$$\lim _{ x\rightarrow 0+ }{ { x }^{ x } } $$

Ich hoffe, mir kann jemand helfen :)

Answer 1

x^x = e ^x*ln(x)  und der Grenzwert von x*ln(x) ist ja vom Typ o* -unendlich deshalb

mach daraus  ln(x) /  ( 1/x) ) das ist Typ  -unendlich / unendlich also mit Hospital

1/x   /    ( -1 / x^2 )   =  - x  und für x gegen 0 also Grenzwert 0.

und e ^x*ln(x) geht dann gegen  e^0  = 1

Comments

Kannst du mir den Schritt erklären, wie du von x*lnx auf lnx/ (1/x) kommst ? :)

Answer 2

nutze die e-Funktion und den Logarithmus

lim x^x = lim e^{x*ln x} = lim e^ln(x)/(1/x) = l'H = lim e^{(1/x)/(-1/x^2)} = lim e^{-x}.

Nun Grenzwert einsetzen und wir erhalten e^0 = 1.

Grüße

Comments

Danke, wie kommst du von lim e^x*lnx zu lim e^lnx/(1/x)? :)

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Habe nur den Bruch umgewandelt. Es ist x = 1/(1/x) :). Braucht man für l'Hospital

Answer 3

Du hast hier den Ausdruck 0^0  und mußt zur e- Funktion übergehen.

= lim(x->=0+) (e^{ln(x^x)}

= lim(x->=0+) (e^ x (ln(x)

= lim(x->=0+) ( x (ln(x))

= lim(x->=0+) (ln(x)/(1/x))

Lösung  1