Kann mir jemand sagen wie man die Hessematrix erstellen kann ohne die partiellen Ableitungen explizit zu berechnen?
Eventuell hätte ich die Idee mit Taylorformel. Allerdings brauche ich da auch die Ableitungen. :/
Vielleicht auch hier ein Beispiel.:
f (x, y)=x^3+y^3
Wie kommst du auf den ungewöhnlichen Wunsch, das zu tun?
Gehört zu einer Übungsaufgabe, die wir machen dürfen
Bei Polynomen kann man die Taylorentwicklung um einen Punkt (x0, y0) per Algebra ausrechnen. Im Beispiel:
x3 +y3 = (x0+(x-x0))3 + (y0+(y-y0))3 = ...
Die Hesse-Matrix bastelt man dann mit den Termen zweiter Ordnung zusammen.
Danke.
Wie setzt sich die zweite Ordnung denn zusammen?
Brauche ich dafür die erste Ableitung?
Fuelle doch erstmal die ... aus. Dafuer werden keine Ableitungen gebraucht, nur elementare Algebra.
Das ist doch an sich nur;
X0^3 +3x0^2 (x-x0)+3x0 (x-x0)^2+(x-x0)^3
Und entsprechend für y
Ja und? Was hast Du erwartet? Schreibe es anstaendig auf und vergleiche mit $$f(\mathfrak{x})=f(\mathfrak{x}_0)+\nabla f(\mathfrak{x}_0)(\mathfrak{x}-\mathfrak{x}_0)+\frac{1}{2}(\mathfrak{x}-\mathfrak{x}_0)^T H_f(\mathfrak{x}_0)(\mathfrak{x}-\mathfrak{x}_0)+\cdots.$$ Dann kannst Du die Hessematrix direkt angeben, ohne eine Ableitung ausgerechnet zu haben. Wolltest Du das nicht?
Ausgeschrieben -xx0^2+x^3+x0^2
Falls ich mich nicht verrechnet habe
Nix brauchbares für die Aufgabe. .. aber wennich jetzt sortiere ist doch f (a)=x0^3+y0^3
Fx (a)(x-a1)=3x0^2 (x-x0)
Fy (a)(y-a2)=3y0^2 (y-y0)
Mit meinem punkt abgekürzt zu a
Und der Rest gehört zur hessematrix?
Übrig bliebe noch 3x0 (x-x0)^2+(x-x0)^3 und 3y0 (y-y0)^2+(y-y0)^3
Sind das nicht: 3x0 (x-x0)^2 und 3y0 (y-y0)^2
Also
6x 0
0 6y
Wie sähe das denn bei der Funktion
f (x, y)=2x+y-xy+x^3 aus?
Wäre das dann:
2 (x0+(x-x0))+(y+(y-y0))-(x0+(x-x0))(y0+(y-y0))+(x0+(x-x0))^3
Und somit 2x0+2 (x-x0)+y0+(y-y0)-x0y0-x0 (y-y0)-y0 (x-x0)-(x-x0)(y-y0)+x0^3+3x0^2 (x-x0)+3x0 (x-x0) ^2+(x-x0)^3
Allerdings habe ich mal zur Kontrolle die Ableitung gebildet und mir fehlt der Term für Fxy=Fyx=-1
Oder ich sehe ihn gerade nicht
Ok. Erfolgreich verdrängt gehabt
-(x-x0)(y-y0)
6x -1
-1 0
Vielen Dank für Deine Hilfe. Jetzt seh ich ein, was ich da tue. :-D
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