Existieren holomorphe Funktionen mit gegebenen Voraussetzungen?

Question

ich soll prüfen ob es holomorphe Funktionen $$f,g:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$$ gibt mit

$$Re\,\,f(x+iy)=x^2-y^2-x$$ und $$Re\,\, g(x+iy)=x^2+y^2-x$$

In einer Aufgabe davor wurde gezeigt, dass wenn eine Funktion f holomorph ist, dann der Real und Imaginärteil harmonisch sind.

Also $$\Delta\, Re\,\, f=\Delta\, Im\,\, f=0$$

Wobei $$\Delta=\partial_x^2+\partial_y^2$$ den Laplace-Operator bezeichnet.

Ebenfalls wurde gezeigt, dass für den Laplace-Operator gilt:

$$\Delta f=4\partial_z\partial_{\overline{z}} f$$

Ich soll nun solche Funktionen angeben, oder begründen warum diese nicht existieren kann.

Ich denke ich kann die vorher gezeigte Aussage nutzen, oder irgendwie kann ich keine solche Funktionen "geschickt" finden.

Hat jemand einen Tipp wie ich vorgehen muss?

Comments

Nach deiner eigenen Aussage kann man kein holomorphes \(g\)  finden mit diesem Realteil.

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  Yakyu; das ist ein Verstoß wider das Ei des Pythagoras. Mathematik kannst du nicht betreiben nach dem Grundsatz

  " Alles, was Sie sagen, kann gegen Sie verwendet werden. "
  " Es muss einen gott geben; der Papst hat es auch gesagt ... "

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Hi,

danke für deine Antwort, aber wie zeigt man dies?

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Einfach \(\Delta Re  \ g\) berechnen, da kommt ja nicht 0 raus.....Hättest du die Antwort vom Gast gelesen hättest du es eigentlich schon selber erkennen müssen.

@godzilla:

Tu ich ja auch gar nicht, in diesem Falle weiß ich ja, dass es einen Gott gibt (um in deinem Sprachraum zu bleiben), offenbare es aber nicht direkt ;). Dem Fragesteller sollte nur klar werden, dass er sich eine Frage schon quasi selbst beantwortet, aber dies nicht bemerkt hat.

Answer 1

  Ohne Gewehr. Die Idee mit der Laplacegleichung ist gut ; gleich dein zweites Beispiel wird dann widerlegt. Denn da wäre ja



      DELTA  (  Re  )  =  4    (  1  )


    
    Das erste geht allerdings gut. D.h. als hinreichende Bedingung müsstest du schon die Cauchy-riemannschen DGL testen; U = Realteil; v = Imagteil.




     ( du/dx )  =  2  x  -  1  =     ( dv/dy )  ===>  v  (  x  ,  y  )  =  (  2  x  -  1  )  y  +  ß1  (  y  )       (  2a  )

     ( du/dy )  =  -  2  y      =  -  ( dv/dx ) ===>  v  (  x  ,  y  )  = 2  x  y  +  ß2  (  x  )    (  2b  )



     In gewisser Weise widersprechen sich ( 2ab ) Einerseits wird gesagt, der Imagteil lautet 2 x y plus einen Rest, der nur von x abhängt; andererseits nur von y . D.h. diese Restfunktion muss konstant sein; du hast demnach die allgemeine Form z = w ² + i C ; c reell. Aber das zeigt doch andererseits auch wieder, welch starken Einschränkungen holomorphe funktionen unterworfen sind.

Comments

   Ich nehm alles zurück; ( 2ab ) müssen natürlich richtig heißen




     v  (  x  ,  y  )  =  (  2  x  -  1  )  y  +  ß1  (  x  )       (  2a  )

     v  (  x  ,  y  )  = 2  x  y  +  ß2  (  y  )    (  2b  )



    Beachte die korrekten Abhängigkeiten der ß-Funktionen von x und y . D.h. jetzt identifizierst du



      ß2  (  y  )  =  -  y       (  3a  )



     D.h. bis auf eine Konstante



    w  (  z  )  =  z  ²  -  z     (  3b  )



   Hätt mich auch gewundert; die Abhängigkeiten aus dem Realteil müssen sich ja im Imagteil wieder finden.