ich habe hier ein Aufgabe:
Aufgabe 33
Es sei \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{e^{-x}}{2}} & {, x \geq 0} \\ {\frac{1}{2}} & {,-1 \leq x<0} \\ {0} & {, \text { sonst }}\end{array}\right. \)
(a) Überprüfen Sie, ob \( \mathrm{f} \) eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist, und skizzieren sie f(x).
(b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion \( \mathrm{F}(\mathrm{x}) \) und skizzieren Sie diese.
(c)
Für welches \( x \in \mathbb{R} \) gilt \( F(x)=0,2 ? \) (Dieses \( x \) heißt \( 0,2 \) -Quantil der Verteilung.)
Für welches \( x \in \mathbb{R} \) gilt \( F(x)=0,9 ? \) (Dieses \( x \) heißt \( 0,9 \) -Quantil der Verteilung.)
(d) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung.
Bei Aufgabenteil c) weiß ich nicht wie man hier vorgehen muss.
Laut Lösung:
(b) \( \quad \) Verteilungsfunktion
$$ F(x)=\int \limits_{-\infty}^{x} f(u) d u=\left\{\begin{aligned} 0 , x<-1 \\ \frac{1}{2} \int \limits_{-1}^{x} d u=\frac{x+1}{2} ,-1 \leq x \leq 0 \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \int e^{-x} d u=\frac{1}{2}+\frac{1-e^{-x}}{2}=1-\frac{e^{-x}}{2}, 0 \leq x \end{aligned}\right. $$
(c) \( \quad 0,2 \) -Quantil und \( 0,9 \) -Quantil
$$ \begin{array}{l} {F\left(x_{0,2}\right)=\frac{2}{10} \Leftrightarrow \frac{x_{0,2}+1}{2}=\frac{2}{10} \Leftrightarrow x_{0,1}=-\frac{3}{5}} \\ {F\left(x_{0,9}\right)=\frac{9}{10} \Leftrightarrow 1-\frac{e^{-x_{0,9}}}{2}=\frac{9}{10} \Leftrightarrow x_{0,9}=\ln (5)} \end{array} $$
Woher weißt ich in welche der der beiden Verteilungsfunktionen ich das jeweilige X setzen muss?
Vielen Dank
