Integral berechnen mithilfe von Treppenfunktionen.

Question

ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Ich muss das folgende Integral berechnen mithilfe von Treppenfunktionen. $$ \int _{ 1 }^{ e }{ \frac { 1 }{ x }  } dx $$

Dazu soll ich die Unterteilung verwenden: 1 = x₀ < . . . < x_n = e     mit x_k = e^k/n

Als Tipp wird angegeben, dass ich bei der Berechnung den Differentialquotient begegne

$$ \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { e }^{ h }-1 }{ h }  } =1\quad $$

Comments

Kai-Uwe lässt Grüßen ;)

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Schöne grüße zurück, wobei du wahrscheinlich nicht Kai-Uwe bist.

Answer 1

bilde einfach die Riemann'sche Summe  ( Obersumme) mit der vorgegebenen Partition und verwende zum Schluss den Hinweis der Aufgabe:

$$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ f({ x }_{ k })( } { x }_{ k }-{ x }_{ k-1 })=\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ { e }^{ \frac { k }{ n }  } } ( } { e }^{ \frac { k }{ n }  }-{ e }^{ \frac { k-1 }{ n }  })=\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { { e }^{ \frac { k-1 }{ n }  } }{ { e }^{ \frac { k }{ n }  } } ( } { e }^{ \frac { 1 }{ n }  }-1)=\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ { e }^{ \frac { 1 }{ n }  } }  } ({ e }^{ \frac { 1 }{ n }  }-1)\\ =\frac { n }{ { e }^{ \frac { 1 }{ n }  } } ({ e }^{ \frac { 1 }{ n }  }-1)=\frac { 1 }{ { e }^{ \frac { 1 }{ n }  } } \frac { { e }^{ \frac { 1 }{ n }  }-1 }{ \frac { 1 }{ n }  } \rightarrow 1 $$