Wie kann ich die Konvergenz Bestimmen mit n als Exponent?

Question

\( a_{n}=\frac{n^{2} 3^{n}-4^{n}}{\left(2^{n}+n\right)\left(2^{n}-n\right)} \)

Wir müssen herausfinden, ob die Folge konvergiert und ggf. den Grenzwert bestimmen.
Ich habe daraus 2 Brüche gemacht um den Grenzwert getrennt zu bestimmen
n^2 * 3^n/(4^n-n^2)     und - 4^n/(4^n-n^2)
und jetzt komme ich nicht weiter weil mich das -n^2 im Nenner stört, im Skript steht nämlich u.a., dass n^2 *q^n konvergiert wenn q zwischen -1 und 1 liegt und das wär hier ja der Fall (3/4), allerdings könnte man das Majorantenkriterium ja nicht verwenden weil der Bruch ohne -n^2 ja kleiner wäre.Hat jemand vielleicht einen Denkanstoß für mich, was hier zu machen ist und wie man generell bei solchen Aufgaben vorgehen sollte?

Answer 1

Ich dividiere Zähler und Nenner immer durch die Zahl, die am schnellsten groß wird. (Höchste Potenz von n oder die größe Grundzahl beim Exponenenten n). Dann hast du zwei Nullfolgen $$ \frac { { n }^{ 2 }{ 3 }^{ n }-{ 4 }^{ n } }{ { 4 }^{ n }-{ n }^{ 2 } } =\frac { { n }^{ 2 }\left( \frac { 3 }{ 4 }  \right) ^{ n }-1 }{ 1-\frac { { n }^{ 2 } }{ { 4 }^{ n } }  } \rightarrow -1 $$