Es ist die Frage, ob du die Exponentialfuktion über den Logarithmus definierst oder umgekehrt. Beides gleichzeitig ist nicht wirklich sinnvoll.
Der springende Punkt steht eigentlich in Nicks Kommentar / Antwort.
Eine Exponentialfunktion f(x) = a^x soll in R allen reellen Zahlen x einen reellen Wert a^x zuordnen.
Das geht bei negativen Basen nicht für nichtganzzahlige Exponenten. (Wenn der Fragesteller gern den Definitionsbereich auf D=Z einschränkt und mit ein paar Pünktchen im Koordinatensystem etwas machen möchte, darf er das eigentlich schon, sollte aber nicht unbedingt von einer reellen Exponentialfunktion sprechen, weil der Begriff anders definiert ist)