Monotonieverhalten einer Funktion: f(x)= ln(1/x)/x^2

Question

ich möchte das Monotonieverhalten folgender Funktion untersuchen:

f(x)= ln(1/x)/x²

f'(x)= -1+ln(x)/x³

Nun ist eine Funktion ja monoton wachsend wenn gilt f'(x) > 0 und analog in die andere Richtung.

Doch wie kann ich das an dieser FUnktion utersuchen? Kann mir wer helfen??

Comments

Hallo Gast ij1611,

Du musst "einfach" nur die Nullstellen der Ableitung bestimmen, da das die einzigen Stellen sind, wo die Monotonie wechseln kann, so lange es keine Polstellen gibt.

Dann jeweils einen Wert der Ableitung zwischen ihren Nullstellen berechnen, damit Du sehen kannst, ist die Funktion in dem Bereich steigend oder fallend. Fertig. Bei Polstellen muss das natürlich vor und nach diesen auch durchgeführt werden.

Gruß

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danke für deine Antwort! Leider haperts auch da...

Wie löse ich -1+ln(x) = 0 nach x auf? mit e⁽⁾ krieg ich es nicht hin...

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Ich sehe gerade, meine Ableitung war falsch. Es muss dann sein: 2*ln(x)-1/x^3 = 0...

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Ahhh, okay, jetzt verstehe ich. Danke euch allen!

Answer 1

f(x) = -ln(x)/x^2
f'(x) = (2*ln(x) - 1)/x^3

Den Definitionsbereich der ln-Funktion solltest du ja kennen (R+).

f'(x) < 0

(2*ln(x) - 1)/x^3 < 0
2*ln(x) - 1 < 0
2*ln(x) < 1
ln(x) < 1/2
x < √e

f'(x) > 0

(2*ln(x) - 1)/x^3 > 0
2*ln(x) - 1 > 0
2*ln(x) > 1
ln(x) > 1/2
x > √e

Answer 2

Die Ableitung muss meiner Meinung nach so lauten: f'(x)=-2ln(1/x)/x³-1/x³ Die Nullstelle der ersten Ableitung berechnet sich daher aus -2ln(1/x) - 1 = 0 oder -2ln(1/x) =  1 oder ln(x^-1) = - 1/2. Mit etwas Gesschick und Wissen  ergibt sich dann x = e^1/2.