Gleichmäßige Stetigkeit - Gegenbeispiel

Question

Ich will widerlegen dass

f: (o,1] -> (-∞,0], f(x) := ln(x) gleichmäßig stetig ist, habe da aber noch meine Schwierigkeiten. Hier erstmal meine Beweisskizze:

Annahme: f ist glm stetig

Sei ε=1.

Dann existiert ein δ≥1 mit |x-x0|<δ ⇒|f(x)-f(x0)| <ε.

Dies gilt für x=1/n und x0=1/n² mit n=3.

Aber dann ist |f(x)-f(x0)| = |ln(1/3)-ln(1/9| > 1 = ε. Widerspruch!

Allerdings funktioniert das nur für δ≥1. Sobald mein δ immer kleiner wird, müsste ich mein n immer größer (und in jeden Fall größer gleich 3 behalten für ε=1). Ich weiß nur nicht wie ich das realisiere, falls mein Ansatz nicht ohnehin falsch ist.

Habt ihr Hinweise?

Answer 1

angenommen es gäbe zu jedem eps > 0 ein delta > 0 mit

| x - xo| < delta ⇒   | ln(xo) - ln(x) | < eps

Dann gäbe es also auch zu eps = ln(2) / 2 ein delta mit ...

und dieses Delta kann man dann ja sicherlich < 1 wählen.

Dann sind xo = delta und x = delta / 2 beide aus dem Def. bereich

und es ist zwar | x0 - x | = delta / 2 < delta

aber | ln ( xo) - ln (x) |

          = | ln ( delta) - ln ( delta/2) |

         = ln (  delta / ( delta/2) ) |

         = ln (2) > eps = ln(2) / 2.

Also kann es nicht zu jedem eps so ein delta geben.