Lagrange Multiplikatoren

Question

Ich habe folgende Aufgabe und bin mir nicht sicher ob ich diese richtig gelöst habe.

Wir betrachten die geschlossene Kurve f(x,y) = 1-x^2-y^2-x^2*y^2

Leiten sie ein Gleichungssystem her mit dem sich berechnen lässt, welcher Punkt der Kurve vom nahen Gasthof (in der x,y Ebene an der Position (1,2) befindlich) am wenigsten weit entfernt ist. Es ist nicht verlangt das Gleichungssystem zu lösen.

Ich habe f(x,y) als Nebenbedinung angenommen und den Normalvektor davon als Zielfunktion (weil dort ja der geringste Abstand ist!)

Ich habe den Punkt in meine Nebenbedinung eingesetzt ( Ergebnis -8) und umgeformt auf f(x,y) - 8. Danach habe ich partiell differenziert und komme auf die 3 Gleichungen:

-2-2y^2 + λ*(-2x-2xy^2) = 0

-2-2x^2 + λ*(-2y - 2x^2y) = 0

-x^2-y^2-x^2y^2 + 7 = 0

Stimmt das so weit beziehungsweise ist die Denkweise richtig?

Danke schon mal für die Hilfe!!

Comments

Hi, 

f(x,y)=1-x^2-y^2-x^2*y^2

ist keine Kurve

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Doch natürlich. Sieh dir den Plot an: https://www.google.at/#q=plot+1-x%5E2+-y%5E2-(x%5E2*y%5E2)&gws_rd=ssl

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Bei mir wird da nix geplottet. Zum Vergleich kann ich nur Wolfram nehmen:

http://m.wolframalpha.com/input/?i=1-x2-y2-x2*y2&x=0&y=0

Es handelt sich um eine Fläche.

Eine Kurve ist nur von einem Parameter abhängig.

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Der Einheitskreis, eine ebene Kurve, ist ebenfalls durch 2 Parameter bestimmt. Mein Plot sieht gleich aus und die dargestellte Fläche wird von einer geschlossenen Kurve eingeschlossen. Wir kommen aber denke ich vom eigentlichen Thema ab. Ich wollte eigentlich nur wissen ob die Rechnung korrekt ist

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Der Einheitskreis wird auch durch eine implizite Gleichung definiert, dass ist ein anderer Sachverhalt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Kurve

Vermutlich ist gemeint die Kurve, die durch f(x,y)=0 bestimmt wird

Dass muss schon vorher geklärt sein, ansonsten kann deine Rechnung nicht nachempfunden werden.

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Ok mein Fehler. Ja f(x,y) = 0!!

Answer 1

Stimmt so halbwegs, aber den Punkt brauchst du nicht in die Funktion einsetzen, da -8 herauskommt, liegt der Punkt nicht auf der Funktion. das ist aber auch nicht wichtig.

Mein Ansatz:

zu minimierende Funktion:

r(x,y)=(1-x)^2+(2-y)^2 (Quadrat des Abstandes)

NB: f(x,y)=1-x^2-y^2+x^2 y^2=0

Lagrangefunktion:

L=r(x,y)+λ*f(x,y)=(1-x)^2+(2-y)^2+λ*(1-x^2-y^2+x^2 y^2)

und jetzt die partiellen Ableitungen null setzen.

Comments

Ok danke. Wäre meine Rechnung falsch gewesen oder nur umständlich? Und funktioniert das Quadrat des Abstandes immer beim solchen Aufgaben?

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Vom Prinzip hast du alles richtig gemacht. 

Die erste und zweite Zeile deiner Berechnung stimmen, lediglich die 7 in der letzten Zeile kommt da nicht hin.

Allgemein hat man eine Funktion g(x,y) die man unter einer Nebenbedingung f(x,y)=0 minimieren/maximieren möchte. Bei dieser Aufgabe ist mit g(x,y)=r(x,y) der Abstand gefragt.

Normal müsste man ja mit dem normalen Abstand rechnen, also mit der Wurzel drumherum.

√((1-x)²+(2-y)²), da die Wurzelfunktion aber eine monoton wachsende Funktion ist, reicht es aus, dass was drin steht zu minimieren.

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Ahh verstehe dein r(x,y) ist im Prinzip nichts anderes als der Vektor von meinem Punkt auf der Ebene zu der Kurve! Wenn man  das so wie ich mit dem Normalvektor rechnet, wie kann ich dann den gegebene Punkt in die Rechnung einfließen lassen? Leichter ist es natürlich so wie du es gerechnet ast aber mir geht es ums Verständnis...