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Folgendes Beispiel bereitet mir etwas Schwierigkeiten:

Sei f(z) = f(x,y) = u(x,y) +iv(x,y) eine koplex differenzierbare Funktion. Zeigen sie für Realteil u(x,y) gilt

Δu = uxx + uyy = 0

Gilt dies auch für den Imaginärteil v(x,y)?

Ich nehme an das ich hier die Cauchy-Riemann'sche Diff.gleichungen brauche aber bin mir nicht ganz im klaren wie ich das anstellen soll!

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1 Antwort

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ich würde das auch mit den Cauchy-Riemann DGL. machen, da diese äquivalent zur komplexen Differenzierbarkeit sind.

sie lauten

du/dx=dv/dy

du/dy=-dv/dx

leite die erste Gleichung nach x und die zweite Gleichung nach y ab

--->  uxx=vyx

und uyy=-vxy

jetzt kannst du den Satz von Schwarz nutzen und erhältst dein Ergebnis.

Für den Imaginärteil gilt dies auch (selbe Rechnung)

Avatar von 37 k

Tut mir leid das die Antwort so lange auf sich hat warten lassen!

Ich leite also f(z)=f(x+iy)=u(x,y) +iv(x,y) zuerst nach x und dann nach  y ab.

FRAGE: Wie genau hast du das gemacht? Wenn ich u(x,y) nach x ableite bekomme ich doch u'(x,y) oder etwa nicht?

Ich habe die beiden Riemannschen DGL abgeleitet,

1te Gleichung:

du/dx=dv/dy  | beide Seiten nach x ableiten

d^{2}u/dx^2=d^{2}v/dydx

oder anders geschrieben

 uxx=vyx

Das selbe macht man bei der 2ten Gleichung, nur dass man dort nach y ableitet. 

Ahh das heißt ich habe nachdem ich mit -1 multipliziert habe und dann gleichgesetzt stehe: uxx = uyy und das kann ich dann einfach umformen. Für den Imaginärteil geht das dann auch wenn ich die DFG genau in vertauschter Reihenfolge ableite oder?

Ja jetzt hast du es richtig erkannt

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