$$ f(x,y)= 1-x^2-y^2-x^2 y^2 $$
$$ z= 1-x^2-y^2-x^2 y^2 $$
$$ 0=-z+ 1-x^2-y^2-x^2 y^2 $$
$$ \frac{d\, f}{dx}= -2x(1- y^2) $$
$$ \frac{d\, f}{dy}= -2y(1- x^2) $$
$$ \frac{d\, f}{dz}= -1 $$
---
$$ \frac{d\, f}{dx}(1,0,0)= -2\cdot 1(1- 0^2) $$
$$ \frac{d\, f}{dy}(1,0,0)= -2\cdot 0(1- 1^2) $$
$$ \frac{d\, f}{dz}(1,0,0)= -1 $$
Der Vektor auf der Tangentialebene durch den Punkt (1,0,0) lautet:
$$\vec V_T(1,0,0)=\begin{pmatrix} -2\\0\\-1 \end{pmatrix}$$