X berechnen und Polstellen berechnen

Question

Hallo :) wie finde ich hier die Polstellen?

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Tipp: \(2x^4+8x^3+6x^2=(x^3+3x^2)\cdot(2x+2)\).

Answer 1

faktorisiere Zähler und Nenner, und überlege dann, wo es Probleme geben kann.

Grüße,

M.B.

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was bedeutet faktoriersieren?

LG Julia

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Hallo Julia / Gulia,

die Teile einer Summe nennt man Summanden; die Teile eines Produktes nennt man Faktoren.

Faktorieren heißt nun, eine Summe in ein Produkt umwandeln, typischerweise durch ausklammern, hier für den Zähler:

\( 2x^4+8x^3+6x^2 = \left( 2x^2+8x+6 \right) x^2 = 2x^2 \left( x^2+4x+3 \right) \)

Wichtig ist das, weil Du sonst nicht kürzen darfst, und viele Untersuchungen von Termen bei Produkten einfacher sind, als bei Summen.

Grüße,

M.B.

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ok wenn ich x^2 ausklammere dann komme ich im Nenner zu x + 3 und somit nur zu einer Nullstelle die -3 ist aber in den Lösungen steht auch die null. Was ist nun die richtige Antwort?

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Hallo Julia / Gulia,

im Nenner gilt: \( x^3+3x^2 = x^2 \left( x+3 \right) \).

Der Nenner darf nie Null werden. Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null wird. Das bedeutet, \( 0 \) und \( -3 \) sind beide richtig.

Grüße,

M.B.

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Hallo MB

> Der Nenner darf nie Null werden. Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null wird. Das bedeutet

00 und −3−3 sind beide richtig.

Dem ist nicht so, zumindest, was die gesuchte richtige Antwort angeht:

Beides sind Definitionslücken, aber keine Polstellen, weil sich die betreffenden Linearfdktoren beide vollständig herauskürzen. (vgl. meine Antwort)

Es handelt sich vielmehr um "stetig behebbare Lücken"

Richtig ist also die Antwort "keine"

Gruß Wolfgang 

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ich habe mich nur auf den Nenner und seine Nullstellen bezogen.

In der Gesamtheit der Aufgabe muss natürlich mit dem Zähler verglichen werden. Hier gilt \( 2x^4+8x^3+6x^2 = 2x^2 (x+1) (x+3) \), so dass \( x^2(x+3) \) gekürzt werden kann, so dass beide Nullstellen des Nenners stetig behebar sind und keine Polstellen mehr übrig bleiben.

Grüße,

M.B.

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Ok danke euch und danke Wolfgang für den Hinweis. Das heißt die Antwort wäre keine weil da eine Lücke ist oder lautet die Aufgabenstellung nur auf Polstellen oder muss man das immer als ganzes betrachten? Wie macht ihr das mit Binomischen Formeln umwandeln muss ich das auswendig wissen oder gibt es da eine Rechneregel für umgekehrt?

Answer 2

Hallo Gulia,

\(\frac{2x^4+8x^3+6x^2}{x^3+3x^2}\)  = \(\frac{x^2·(2x^2+8x+6)}{x^2·(x+3)}\)  = \(\frac{x^2·2·(x+1)·(x+3)}{x^2·(x+3)}\) 

Polstellen sind Definitionslücken ( = Nullstellen des Nenners), deren Linearfaktoren sich nicht komplett aus dem Nenner wegkürzen lassen.

Hier gibt also nur die "stetig behebbaren Lücken"  x = 0 und x = -3  aber keine Polstellen.

Gruß Wolfgang

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Danke Wolfgang aber kannst du mir das genau erklären und muss ich als Antwort keine Nullstellen angeben? LG Julia

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Die Antwort "keine" ist  richtig.  Gemeint sind damit  aber "keine Polstellen"

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ja meinte Polstellen :D aber kannst du mir die genaue Vorgehensweise erklären so das ich das immer anwenden kann wenn auch x^4 vorkommt?

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Das kannst du nur, wenn du die Faktorzerlegung von Zähler und Nenner machen kannst, wenn die Aufgabe also entsprechend gegeben ist. (Kann auch deutlich komplizierter sein :-)

Wenn kein konstanter Summand vorkommt,  musst du im Zähler und Nenner jeweils die niedrigste  x-Potenz (hier x²) ausklammern und ggf. einen quadratischen Restterm  ( hier im Zähler 2x²+8x+6) weiter zerlegen. Dazu kannst du bei ax²+bx+c  a ausklammern und mit der pq-Formel ggf. die Nullstellen x₁ und x₂ des Terms ausrechnen.

Dann gilt   ax² + bx +c  = a * (x - x₁) * (x - x₂)

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was bedeutet "stetig behebbare Lücken"?

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Das sind Definitionslücken (Nenner = 0), bei denen im Graph nur eine einzelner Punkt fehlt, damit man eine zusammenhängende Linie erhält.

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Ja bei einer Lücke wird der Nenner und Zähler Null oder? Aber warum heißt die Lücke behebbar?

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Ja, Zähler und Nenner  = 0.

Schau mal oben auf die Bilder:

Bei der Lücke musst du nur einen Punkt einsetzen, dann verläuft der Graph dort "steitg", d.h. man kann ihn ohne Absetzen zeichnen. Bei einer Polstelle geht das nicht.

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Danke Wolfgang für den Kommentar aber wie ist das nun genau mit der Betrachtung der Funktion, wenn man die Polstellen wissen möchte muss man auch den Zähler anschauen oder wie? Dachte da muss man nur den Nenner anschauen?