Die Frage ist alt, aber ich beschäftige gerade mit dem Thema.
Jeder Untervektorraum eines Vektorraumes muss den Nullvektor enthalten. Man kann gewissermaßen beliebige Teilmengen eines Vektorraumes betrachten, auch Geraden oder Ebenen, die nicht durch den Ursprung gehen. Diese bilden jedoch keinen Untervektorraum. Das heißt, dass man nicht auf den verschobenen Geraden rechnen kann, wie in einem eigenen Vektorraum. Wenn man die Elemente einer verschobenen Gerade als Teilmenge eines Vektorraumes interpretiert, dann wird eine Addition zweier Vektoren, die auf Punkte der Geraden zeigen für gewöhnlich nicht zu einem Vektor führen, der wieder auf der Geraden liegt. Genau das wird aber von Untervektorräumen verlangt.
Ein 0-dimensionaler Untervektorraum enthält nur den Nullvektor. Jede Translation des Nullvektors um einen (von null verschiedenen) Vektor v führt genau auf v. Aus oben genannten Gründen ist v kein Untervektorraum. Ein eindimensionaler Untervektorraum wäre eine Gerade. Wenn wir die um v verschieben, dann liegt der oben besprochene Fall vor.
Man kann also Problemlos in Vektorräumen Funktionen definieren, die verschieben, dazu wählt man einfach einen fixen Vektor v und definiert f_v: V → V durch f(w) = w + v. Das ist eine wohldefinierte Funktion auf dem Vektorraum V. Aber ihr Bild stellt zunächst mal keinen Untervektorraum dar.
In dem korrespondierenden affinen Raum müsste aber die analog definierte Translation auf einen Affinen Unterraum abbilden.
MfG
Caponsky
