komplexe Zahlen skizzieren. Bsp. {z∈ℂ : |z|≥1-Im(z) }

Question

z∈ℂ : |z|≥1-Im(z)

Kann oder muss man dies als (x+iy)≥(1-y) schreiben? Wie geht man dann weiter vor?

und

z∈ℂ : Im(1/z)=2

Hier würde ich auch Im(1/z) also Im (1/(x+iy)) schreiben und mit der konjugiert komplexen Zahlen erweitern.

Eine Kontrolllösung bzw. Grafik der Menge wäre nicht schlecht, damit ich mich überprüfen kann.

Danke

Comments

Kann oder muss man...

Ja und nein.

Eine Kontrolllösung bzw. Grafik der Menge wäre nicht schlecht...

Klar, kein Problem. Mach mal eine Vorschlag!

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Ich rechne gerade parallel dran ;)

Wollte nur die Frage schon vorab einstellen

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Bei z∈ℂ : |z|≥1-Im(z)

habe ich z=x+b*i gesetzt und  bin jetzt auf x²≥1-2b gekommen.

Kann man das jetzt so machen, dass man x² in die Gaußsche Zahlenebene einsetzt (also einfach die Normalparabel) und 1-2b als Gerade einzeichnet und dann eben den Bereich schraffieren wo die Parabel größer als die gerade ist?

Anders wüsste ich jetzt nicht wie ich das mit den zwei Variablen soll.

Bei z∈ℂ : Im(1/z)=2

bin ich z=a+b*i auf 2b²+b=-2a² gekommen.

Hier würde ich analog wie oben vorgehen und die zwei Quadratischen Funktionen einzeichnen und diesmal eben nur den Schnittpunkt markieren.

Stimmt das vom Prinzip her oder muss man da komplett anders vorgehen?

Answer 1

$$ z∈ℂ : |z|≥1-Im(z)$$

Kann oder muss man dies als (x+iy)≥(1-y) schreiben?
$$\sqrt{x^2+y^2}\ge 1-y$$
wäre richtiger

Comments

weiter geht's ...

$$\sqrt{x^2+y^2}\ge 1-y$$
$$x^2+y^2\ge (1-y)^2$$
$$x^2+y^2\ge 1-2y+y^2$$
$$x^2\ge 1-2y$$
$$2y \ge 1-x^2$$
$$y \ge \frac{1-x^2}2$$

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Man muss also immer nach einer Variablen umstellen und dann quasi eine Funktion zeichnen?

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Bei der anderen Menge

 z∈ℂ : Im(1/z)=2

bin ich mit z=a+b*i auf 2b²+b=-2a² gekommen.

also a=√(2b²+b/(-2))

Kann das stimmen?

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$$ \Im \left(\frac 1z \right)=2 $$
$$ z= a+ib $$
$$ \Im \left(\frac 1{a+ib} \right)=2 $$
$$ \Im \left(\frac {(a-ib)}{(a+ib)(a-ib)} \right)=2 $$
$$ \Im \left(\frac {a-ib}{a^2+b^2} \right)=2 $$
$$ \frac {-b}{a^2+b^2} =2 $$
$$ \frac {-b}{2} = a^2+b^2$$
$$ \frac {-b}{2}-b^2 = a^2$$
$$ -b^2  -\frac {b}{2}=  a^2$$
$$ a_{1,2}= \pm  \sqrt{-b^2  - \frac {b}{2}}$$

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oder nach b aufgelöst:
$$ b^2  +\frac {b}{2}=  -a^2$$
$$ b^2  +\frac {b}{2}+\left( \frac 14 \right)^2=  \left( \frac 14 \right)^2-a^2$$
$$\left(b+ \frac 14 \right)^2=  \left( \frac 14 \right)^2-a^2$$
$$b+ \frac 14 = \sqrt{ \left( \frac 14 \right)^2-a^2}$$
$$b_{1,2}= - \frac 14 \pm \sqrt{ \left( \frac 14 \right)^2-a^2}$$
$$b_{1,2}= - \frac 14 \pm  \left( \frac 14 \right) \sqrt{1-16a^2}$$
$$b_{1,2}= \frac 14 \left(-1\pm    \sqrt{1-16a^2}\right)$$

Beachte jeweils die Einschränkungen, die sich aus dem Argument der Wurzel ergeben!

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ok.

Und a_1/2=.....

Was mache ich jetzt damit um die gesuchte Menge zu zeichnen? Ist   a_1/2=.....  eine Funktion, die ich in die Zahlenebene einzeichne?

Sorry, aber ich brauch da immer ein wenig länger um ein Verständnis für neue Themen zu entwickeln.

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$$ a_{1,2}= \pm  \sqrt{-b^2  - \frac {b}{2}}$$
Das Argument unter der Wurzel muss grössergleichnull sein:
$$0 \le -b^2  - \frac {b}{2}$$
$$0 \ge b^2  + \frac {b}{2}$$
$$\left( \frac 14 \right)^2 \ge b^2  + \frac {b}{2}+ \left( \frac 14 \right)^2$$
$$\left( \frac 14 \right)^2 \ge \left(b+ \frac 14 \right)^2$$
Achtung ! Fallunterscheidung bei der Radizierung nicht vergessen!$$$$
I:$$ \frac 14  \ge b+ \frac 14 $$
$$ 0  \ge b $$
$$  b \le 0$$
II:$$ -\frac 14  \le b+ \frac 14 $$
$$ -\frac 24  \le b $$
$$  b \ge -\frac 12$$

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Wenn ich das skizziere nimm ich einfach alle komplexen Zahlen deren Imaginärteil ≥-0,5 und ≥0 ist ?

Oder gibt es auch für den Realteil noch Einschränkungen?

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Der Realteil ( in diesem Beispiel mit klein a bezeichnet) ergibt sich zwangsläufig aus dem Definitionsbereich des Imaginärteiles:

$$ a_{1,2}= \pm  \sqrt{-b^2  - \frac {b}{2}}$$

Du erinnerst dich?

" nimm ich einfach alle komplexen Zahlen deren Imaginärteil ≥-0,5 und ≥0 ist"

... wäre falsch, weil ja nun jedem Wert eines Imaginärteiles zwei Realteile zugewiesen sind, wodurch die daraus generierten komplexen Zahlen den Bedingungen der Aufgabenstellung entsprechen (hoffentlich!).

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$$b_{1,2}= \frac 14 \left(-1\pm   \sqrt{1-16a^2}\right)$$
welche Einschränkungen für a ergeben sich denn aus dieser Formel?
 (neinmal darfst du raten)

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 (neinmal darfst du raten)

Ich verstehe worauf du hinaus willst :D

Es muss gelten a≤√(1/16) und a≥√(1/16)

Dann sind das in der Zahlenebene quasi 2 Rechtecke die man kriegt oder?

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Genesis 1,1: Am Anfang war die Aufgabenstellung ...

$$ \Im \left(\frac 1z \right)=2 $$

Daraus haben wir einen Zusammenhang erarbeitet, der zwischen Realteil und Imaginärteil gilt, damit diese Bedingung erfüllt ist.

Bei der Umformung ergaben sich einige Wurzelsituationen, die zur Einschränkung der Definitionsmenge der Re bzw. Im geführt haben. Es steht also nicht die Gesamtmenge aller reellen Zahlen zur Verfügung, sondern nur jener, der nicht zu negativen Argumenten unter den Wurzeln führt.

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$$b_{1,2}= \frac 14 \left(-1\pm    \sqrt{1-16a^2}\right)$$
setze x für den Realteil und y für den Imaginärteil ein und freu Dich über die entstehende Figur im Funktionsplotter!

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Wie sieht denn die Menge nun aus? Ist das einfach die Funktion die ich plotten soll?
Wenn du mir das noch zeigst beenden wir das hier :D

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~plot~ -(1+sqrt(1-16 x^2))/4 ;-(1-sqrt(1-16 x^2))/4 ~plot~

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Tausend Dank!!
Und wie sieht die Figur der anderen Menge aus  (auf der du ursprünglich die Antwort gegeben hast)?

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Setze die gewonnene Funktionsgleichung in den Plotter ein, der diesem Forum zur Verfügung steht:

~plot~   (1-x^2)/2 ~plot~

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Also dann ist die Menge alles was außerhalb und auf der Parabel liegt oder?

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Kann es sein, dass du dich bei z∈ℂ : |z|≥1-Im(z) mal verrechnet hast?

Mir ist halt nur aufgefallen, dass der Kreis vom Plotter einen falschen Radius hat, denn wenn man von

0,5b=a²+b²          (das hast du auch so bis hierher)

versucht ein Binom herzustellen ergibt sich ja

a²+b²-0,5b=0

a²+b²-0,5b+0,25²-0,25²=0

a²+(b-0,25)²=0,25²

Das ist doch ein Kreis mit Mittelpunkt (0;0,25) und Radius 0,25.

Bei uns scheint der Kreis ja den Mittelpunkt (0,-0,25) zu haben.

Was ist jetzt richtig davon? Ich sehe jetzt auch keinen Fehler bei meiner Rechnung

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Zitat:

"0,5b=a²+b²          (das hast du auch so bis hierher)"

nööö... ich hab da so einen kleinen Strich mehr - auch als negatives Vorzeichen bekannt.

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:D Oh man... das sind dumme Fehler!

Aber die Figur wo du geplottet hast soll schon einen Kreis darstellen oder?

Sieht irgendwie aus als wäre der rechte Teil nicht ganz geschlossen

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Weshalb der Kreis nicht ganz zu geht, könnte man noch untersuchen ...

a) es könnte eine Definitionslücke vorliegen

b) der Plotter macht zu große Schritte

c) es gibt bestimmt noch eine mögliche Erklärung

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Ne mal im ernst ;)

Wenn man das so macht wie ich oben (natürlich mit richtigem Vorzeichen) hat man doch eine Kreiselgleichung wo man Radius und Kreis Mittelpunkt ablesen kann. Da gibt es doch dann keine Definitionslücken wenn man das so macht.

Ist das jetzt ein ganzer Kreis oder nicht ? :D

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Antwort b) wäre richtig gewesen ...

Der online-browser-plotter löst "offensichtlich" nicht ausreichend auf - sowohl rechnerisch als auch mit einem lokal installiertem Programm ist keine Lücke zu sehen und es gibt auch keinen mathematischen Grund dafür.

Deshalb immer völlig vorbehaltlos auf die Ergebnisse von Computern verlassen, da die ja immer alles richtig machen.

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Jetzt haben wir es geschafft :D

Leider kann ich dir nicht mehr wie einen Stern für deine Geduld geben.

Aber ich muss ehrlich sagen mir hat das wirklich was gebracht. Ich bin mal die ähnlichen Fragen durchgegangen und konnte fast alle Mengen skizzieren.

!