Bruch in die Form x + i*y umschreiben Komplexe Zahlen

Question

Ich soll die Zahl 

$$\left( \frac { 1 }{ 1+i }  \right) ^{ 1000 }$$ in der Form x + iy , x,y∈ℚ angeben.

Als Idee, da der Imaginärteil im Nenner steht dachte ich das ich 
$$\left( \frac { 1 }{ 1+i }  \right) ^{ 1000 }\quad =\quad \left( \left( \frac { 1 }{ 1+i }  \right) \quad *\quad \left( \frac { 1-i }{ 1-i }  \right)  \right) ^{ 1000 }\quad $$ so umstelle. Allerdings weiß ich nicht wie ich den Imaginärteil sinnvoll mit der Potenz auflösen kann.

Answer 1

Dann hast du in der Klammer 

(  1 - i )    /   2    
 
Und    (  1 - i )   hat mit der pos. reellen Achse einen Winkel von

135°   und den Betrag   √2    .

Also ist es  hoch 8 wieder in der gleichen Richtung aber mit dem Betrag 16.und bei  hoch 1000 das ist 125*8 also wieder die gleiche Richtung, aber der Betrag  ist 

16¹²⁵  =  2⁵⁰⁰      also ist das Ergebnis von  (  1 - i )¹⁰⁰⁰    /   2¹⁰⁰⁰   =    

(1-  i  )  / 2⁵⁰⁰