x ² + 7 a = 2 a x
bringe die Gleichung in Normalform:
<=> x ² - 2 a x + 7 a = 0
und betrachte nun die pq-Formel zur Lösung solcher Gleichungen:
x1,2 = - ( p / 2 ) +/- √ ( ( p / 2 ) ² - q )
und erkenne: Es gibt genau dann genau eine Lösung, wenn der Term unter der Wurzel den Wert Null annimmt. Dann nämlich ist der Wert der Wurzel ebenfalls gleich Null. Dann aber sind die beiden Lösungen x1 und x2 identisch, nämlich gleich - ( p / 2 ), denn es kommt nicht darauf an, ob man die positive oder die negative Wurzel aus Null zu -( p / 2 ) addiert.
Im vorliegenden Beispiel ist
p = - 2 a und q = 7 a
Setze also unter Verwendung dieser Werte den Term unter der Wurzel gleich Null:
( - 2 a / 2 ) ² - 7 a = 0
und löse nach a auf:
<=> a ² - 7 a = 0
<=> a * ( a - 7 ) = 0
<=> a = 0 ODER a - 7 = 0
<=> a = 0 ODER a = 7
Also: hat die Gleichung x ² + 7 a = 2 a x für die Werte a = 0 oder a = 7 jeweils genau eine Lösung.
Setzt man diese Werte für a ein, erhält man die beiden Gleichungen
x ² = 0 (einzige Lösung: x = 0 )
x ² + 49 = 14 x (einzige Lösung: x = 7 )
Alternative Lösung:
Wenn eine quadratische Gleichung genau eine Lösung k haben soll, dann muss sich die Gleichung so schreiben lassen:
0 = ( x - k ) * ( x - k ) = x ² - 2 k x + k ²
Durch Koeffizientenvergleich mit der in der Aufgabenstellung gegebenen quadratischen Gleichung x ² - 2 a x + 7 a = 0 stellt man fest:
- 2 k = - 2 a UND k ² = 7 a
<=> k = a UND a ² = 7 a
<=> a = 0 ODER a = 7
