an bestimme die Taylor Entwicklung von f(x) =artanh(x) in 0

Question

 Man bestimme die Taylor Entwicklung von f(x) =artanh(x) in 0 (inklusive Konvergenzradius).

wie kann ich das machen?

abgeleitet habe ich diese schonmal ( 1/(1-x²)

wie muss ich jetzt vorangehen?

Comments

berechne doch erst ein paar ableitungen und finde ein gesetz für die k-te ableitung und beweise sie mit induktion

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in dem fall sind nur die ungeradzahligen ableitungen von bedeutung die geradzahligen fallen weg wegen des entwicklungspunktes x₀ = 0

Answer 1

abgeleitet habe ich diese schon mal  f '(x) = 1/(1-x²)

Und für f ' (x) bekommst du das doch über die

geom. Reihe  (mit q = x² )   hin:

1/(1-x²)  =   1   +   x²   +   x⁴   +  x⁶   ......................  

Dann liefert Integration:


artanh(x) + C =    x   +  (1/3) x³   +  (1/5) x⁵   +  (1/7)x⁷   ......................  


und wegen artanh(0) = 0 ist das C = 0.