Integration durch Substitution geht, Grenzen erschweren es.

Question

Liebe Mathecommunity!

Hier ist eine Aufgabe zum Thema der Substitutionsregel, mit der ich nicht ganz so klar komme:

^3√π

∫     x² * sin(x³)dx
0

sprich das Integral bei x^2*sin(x^3) von den Grenzen 0 bis zur dritten Wurzel von Pi (hoffentlich so korrekt :D )

Das Integral ohne Grenzen hätte ich so berechnet:

u = x³  , u' = 3x² = du/dx , dx = du/3x² , du = 3x²dx 

Dann:

1/3 - ∫ sin(x³) * 3x²dx = 1/3 - ∫ sin(u) du

= 1/3 (- cos*u) +C = -1/3 cos(x³) + C.

Allerdings weiß ich nicht, wie ich das jetzt mit den Grenzen machen soll bzw. wann ich diese einsetzen sollte. Und ist meine Substitutionsvariante okay oder allgemein nicht zu empfehlen? Könnte mir einer helfen?

Schöne Grüße vom Mathe-Lerner :)

Answer 1

Zum Scluss hast ja die Rücksubstitution angewenden und folgendes gefunden:

$$\int x^2\sin (x^3)dx=-\frac{1}{3}\cos (x^3)+c$$

Du kannst also folgendes machen:

$$\int_0^{3\sqrt{\pi}} x^2\sin (x^3)dx=\left [-\frac{1}{3}\cos (x^3)+c\right ]_0^{3\sqrt{\pi}}$$ 

Oder:

Wenn du die Substitution u=x³ beim bestimmte Integral anwendest, ändern sich die Integralgrenzen:

Wenn das x von 0 bis 3√π läuft, läuft das u von $$u(0)=0^3=0  \ \text{ bis } \ u(3\sqrt{\pi})=(3\sqrt{\pi})^3$$

Comments

Also kann ich jetzt quasi einfach so die Grenzen einsetzen:

-1/3 * cos (3√π) - (- 1/3 * cos (0) ) 

≈ -0,66

Und somit wäre dies meine Lösung?

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Es muss $$-\frac{1}{3}\cos \left(\left(3\sqrt{\pi}\right)^3\right)-\left(-\frac{1}{3}\cos (0)\right)$$ sein. Die Lösung ist also $$\approx 0.033415$$

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Dann wäre die Lösung ungefähr 0.033 (das obige -0,66 und editierte 0,62 waren zwei Rechenfehler)! Danke Dir sehr für die Hilfe! :)

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Sorry, aber hab gerade versucht das mit dem TR zu verstehen, aber der scheint überfordert.

Gebe ich beides auf einmal ein, also wie du schon angegeben hast, kommt 5,00...x₁₀^-4 raus

Berechne ich zuerst das linke, dann das recht und subtrahiere, kommt für die linke Hälfte -0,33 raus und für die rechte ebenfalls -0,33. Das wäre dann ungefähr -0,66.

Wo hab ich da den Fehler? :D Ich glaube dann ist es durch.

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 Es gilt ja folgendes:

$$-\frac{1}{3}\cos \left(\left(3\sqrt{\pi}\right)^3\right)-\left(-\frac{1}{3}\cos (0)\right)\\ =-\frac{1}{3}\cos \left(\left(3\sqrt{\pi}\right)^3\right)+\frac{1}{3}\cos (0) \\ =-\frac{1}{3}\cos \left(\left(3\sqrt{\pi}\right)^3\right)+\frac{1}{3} \\ =-\frac{\cos \left(\left(3\sqrt{\pi}\right)^3\right)-1}{3}$$  

Welches Ergebnis bekommst du wenn mit den TR das $$\cos \left(\left(3\sqrt{\pi}\right)^3\right)$$ erstmal berechnest, dann davon die 1 abziehst und dann das Ergebnis durch 3 dividierst und dann zuletzt das Minus Zeichen davor setzt?

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Kriege dann trotzdem 5,00...x₁₀^-4 dabei raus. Egal in welcher Form :o Kann das sein, dass beim TR was falsch berechnet wird? Hab nen normalen CASIO fx-991ES.

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Welches ist das Ergebnis von deinen TR wenn du das$$\cos \left(\left(3\sqrt{\pi}\right)^3\right)$$  eingibst? 

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Ja tatsächlich. Rechne ich das ganz einzeln auf, kommt am Ende 0,0033 raus. Wobei ich nicht verstehe, warum 0.99-1 was anderes ergibt, als Ans ( sprich 0,99 ) - 1. Aber das ist ein anderes Thema :P

Answer 2

Das Ergebnis stimmt.

Es ist prinzipiell egal ,ob man zuerst das Integral berechnet und dann die Grenzen einsetzt, oder man ändert die Integrationsgrenzen während der Integration.

Answer 3

In einigen Zeilen bei der Bildung der Stammfunktion
stimmen deine Terme nicht.

ich meine so ist es richtig

∫ x² * sin ( x³ ) dx

u = x^3
u ´ = 3 * x^2 = du / dx
dx = du / ( 3 * x^2 )

Ersetzen
∫ x^2 * sin ( u )  du / ( 3 * x^2 )
1 / 3 * ∫ sin ( u ) du
1 / 3 *  - cos ( u )
- 1 / 3 * cos ( x^3 )

mfg Georg

Comments

Taschenrechnerergebnisse
√ π = 1.772454
3 * ... = 5.31736
( ) ^3 = 150.3449

Steht der Taschenrechner auf Bogenmass ( RAD )
ergibt sich cos ( 150.3449 ) = 0.89975

Steht der Taschenrechner auf Grad  ( Grd )
ergibt sich cos ( 150.3449 ) = -0.8669

Da die Integrationsgrenzen mit π angegeben sind
dürfte die erste Berechnung in Bogenmass richtig sein.

mfg Georg