Ganzrationale Funktionen 4. Grades - Projektarbeit Symmetrie

Question

Ich und meine Klassenkameraden müssen eine Projektarbeit über ganzrationale Funktionen 4ten Grades schreiben. Der Schwerpunkt soll dabei die Symmetrie sein - d.h. woran man Symmetrie erkennen kann und wie man sie berechnet. Wir haben aber überhaupt keine Ahnung, könnte uns eventuell jemand weiterhelfen?

Answer 1

Bei welchen 4. Grades gibt es nur Symmetrien zu Parallelen zur y-Achse.

Etwa  so was wie  ax⁴ + bx² + c . Da ist es die y-Achse selber.

Berechnet wird das durch f(x) = f(-x).

Und dann könnt ihr das noch rechts oder links verschieben, und habt dann sowas wie 

a(x-d)⁴ + b(x-d)² + c  .  Berechnet:  f(x+d) = f(-x+d) .

Symmetrien zu Punkten sind nicht möglich, da für x gegen ±unendlich beim 4. Grad

immer  das gleiche Verhalten vorliegt.

Answer 2

Für ganzrationale Funktionen gilt grundsätzlich: Ihr Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn alle Exponenten gerade sind. Ihr Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn alle Exponenten ungerade sind. Ganzrationale Funktionen 4ten Grades können daher bestenfalls achsensymmetrisch zur y-Achse sein, müssen aber nicht. Punktsymmetrie kommt überhapt nicht in Frage. Das ist eine sehr kurze Projektarbeit. Es gibt noch die Möglichkeit einer Symmetrieachse parallel zur y-Achse.  (siehe Antwort von mathef).

Answer 3

Spiegelt sich eine Funktion an der y-Achse gilt.

f ( + x ) = f ( - x )

Der Funktionswert von z.B. x = 3 und x = -3 ist
derselbe.

f ( x ) = f ( -x )

f ( x ) = a * x^4 + b * x^3 + c * x^2 + d * x + e

Falls x einen geraden Exponenten hat ist der Wert
für x und -x gleich. Es blebt

f ( x ) = a * x^4 + c * x^2 + e
f ( -x ) =  a * (-x)^4 + c * (-x)^2 + e = a * x^4 + c * x^2 + e = f ( x )

Wird eine zur y-Achse symmetrische Funktion auf
der x-Achse nach links oder rechts um b verschoben
bleibt eine Achsensymmetrie erhalten. Die
Symmetrieachse liegt dann bei b.

mfg Georg