Die Schnittpunkte der Parabel y=-1/4*x^2+4 mit den Koordinatenachsen bilden ein Dreieck. Berechne dessen Umfang.

Question

Eine Parabel hat die Funktionsgleichung

\( y=-\frac{1}{4} x^{2}+4 \)

Die drei Schnittpunkte der Parabel mit den Koordinatenachsen bilden ein Dreieck. Berechne den Umfang des Dreiecks.

Answer 1

f(x) = -1/4*x^2 + 4

Y Achsenabschnitt f(0)

f(0) = 4 ---> P(0, 4)

Nullstellen f(x) = 0

-1/4*x^2 + 4 = 0
-1/4*x^2 = -4
x^2 = 16
x = ±4 ---> Q(-4, 0), R(4, 0)

|QR| = 8

|PR| = |PQ| = √(4^2 + 4^2) = √32

U = 2 * √32 + 8 = 19.31

Skizze:

Answer 2

Erstmal die Schnittpunkte bestimmen:

Der Schnittpunkt A des Funktionsgraphen mit der y-Achse hat die Koordinaten
A ( 0 | f ( 0 ) ), also:

A ( 0 | 4 )

(Hinweis: Den y-Achsenabschnitt des Graphen einer Polynomfunktion kann man auch ohne Berechnung des Funktionswertes direkt aus dem Funktionsterm ablesen. Er ist gleich dem Wert des absoluten Gliedes des Funktionsterms, vorliegend also gleich 4, da die anderen Summanden des Funktionsterms wegen x = 0 den Wert Null ergeben.)

Die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse liegen dort, wo die Funktion den Wert f ( x ) = 0 annimmt. Also:

f ( x ) = - ( 1 / 4 ) x ² + 4 = 0

<=> ( 1 / 4 ) x ² = 4

<=> 0,5 x = +/- 2

<=> x = +/- 4

Die Schnittpunkte B und C sind also:

B ( - 4 | 0 ) und C ( 4 | 0 )

Der Umfang des Dreiecks ABC ist nun gleich der Summe der Strecken AB, BC und CA, wobei aufgrund der Symmetrie die Strecken AB und CA gleich lang sind. 

Für die Strecke BC gilt offensichtlich:

| BC | = 8

und für die Strecke CA ( und somit auch für die Strecke AB ) gilt nach Pythagoras:

| CA | = | AB | =  √ ( 4 ² + 4 ² ) = √ ( 32 ) = 4 * √ ( 2 )

Somit gilt für den Umfang des Dreiecks ABC:

Umfang = | BC | + 2 * | CA | = 8 + 2 * 4 * √ ( 2 ) = 8 + 8 * √ ( 2 ) = 8 * ( 1 + √ ( 2 ) = 19,3 (gerundet)