Ist der Beweis zu den Primzahlen korrekt?

Question

Ich bitte um Durchsicht meines Beweises. Bin mir sehr unsicher ob der passt oder eben nicht.

Angabe:

a∈ℤ und p∈ℙ (Primz.). v_p(a) = max{k∈ℕ₀: p^k | a}

Zu beweisen: a|b ⇔ ∀p∈ℙ: v_p(a) ≤ v_p(b)

Mein Beweis:

⇒

Gelte a|b. --> PFZ von a hat PF, deren Potenzen kleiner/-gleich sind wie die in der PFZ von b. D.h. in der PFZ von b kommen die PF jeweils in mind, gleich großer Potenz wie in der PFZ von a vor. --> v_p(a) ≤ v_p(b)

⇐ 

Gelte ∀p∈ℙ: v_p(a) ≤ v_p(b). --> Die PF in der PFZ von a haben jeweils die kleinere (max. gleiche) Potenz wie die PF in der PFZ von b. --> Alle PF in der PFZ von a sind in der PFZ von b enthalten --> a|b

Ist das so richtig? oder ist das voll am falschen Dampfer gedacht?

Glg