Aufgabe:
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass 3 stets ein Teiler von n3 − n ist – für alle n ∈ N.
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kann mir jemand zeigen, wie das geht?
Vom Duplikat:
Titel: Vollständige Induktion Beweise, dass 6 Teiler ist von n^3 - n für alle natürlichen Zahlen n.
Stichworte: induktion,teiler,sechs,vollständige-induktion
Beweisen Sie unter Verwendung der vollständigen Induktion, dass
∀n ∈ N: 6 | n3− n
dass 3 stets ein Teiler von n3 − n
für 1 ist es wahr.Sei es wahr für n, dann gilt (n+1)3 - (n+1) = n3 + 3n2 + 3n + 1 - n - 1 = n3 - n + 3n2 + 3n = ( n3 - n) + 3( n2 + n ) Der erste Summand ist durch 3 teilbar nach Ind. vor.und der zweite, weil er den Faktor 3 enthält.
Hilssatz: ∀n ∈ N: 6 | 3(n+1)n
Beweis des Hs.: Entweder n+1 oder n ist gerade.
Vollst Ind.:
Vorauss.: ∀n ∈ N: 6 | n3− n. Den Hs addieren
6 | n3− n + 3(n+1)n umformen zu
6 | n3− n + 3n2+3n +1 - 1 und dann
6 | (n+1)3− (n +1)
Was zu zeigen war.
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