Der Begriff "unendlicher Dezimalbruch" meint wohl "nicht-abbrechender Dezimalbruch".
Die eine Richtung des Beweises:
Sei n die Periodenlänge und d der Dezimalbruch. Dann ist 10n·d - d= [a1a2a3...an] und d=[a1a2a3...an]/(10n - 1) also rational.
Die andere Richtung:
Sei d rational, dann ist d=m/n mit natürlichen Zahlen m und n. Die schriftliche Division m/n kann maximal m-1 verschiedene Reste haben. Dann aber wiederholt sich die Folge der Reste periodisch.