Sei K ein Körper, V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, f ∈ End(V ) und ψf das Minimalpolynom von f.
(a) Ist ψf durch X teilbar, so ist f nicht invertierbar. Hinweis: Wenn ψf = X · p ist, was lässt sich dann über p(f ) sagen, und was bedeutet das für ψf (f )?
(b) Ist ψf nicht durch X teilbar, so ist f invertierbar. Hinweis: Zeigen Sie, dass es ein Polynom der Form 1+Xq gibt (mit q ∈ K[X]), das f annulliert. Können Sie mit Hilfe dieses Polynoms das Inverse von f angeben?
(c) Ist f invertierbar, so gibt es ein Polynom p ∈ K[X] so dass f−1 = p(f) gilt. Hinweis: Verwenden Sie die vorigen Teilaufgaben.
Wie kann ich die drei Aussagen zeigen? Da stehen zwar Hinweise, aber leider helfen sie mir nicht wirklich weiter
Schreibe halt $$\psi_f(X)=X^m+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots+a_1X+a_0$$ in Langform hin. Es gilt dann \(\psi_f(f)=0\) und es gibt kein Polynom kleineren Grades, das von \(f\) ebenfalls annulliert wird. Bei (a) ist der Fall \(a_0=0\) zu diskutieren und bei (b) der Fall \(a_0\ne0\). Dazu eben \(f\) einsetzen und gucken, was sich ergibt. Bei (a) ein Widerspruch, wenn \(f\) invertierbar ist, bei (b) und (c) eine explizite Formel für \(f^{-1}\).
wie setze ich denn f ein ? Bin echt überfordert mit den Aufgaben
Ist das so richtig ?
Es gilt ψf(X)=Xm+am-1Xm-1+...+a1X+a0=X*p+a0
mit p=Xr-1+ar-1Xr-2+...+a1.
Dann wird fp(f)=-a0En
Da der Grad von p kleiner als der des Minimalpolynomas von f ist, ist p(f)≠0. Wenn nun a0=0, kann f nicht invertierbar sein.
Stimmt das so ?
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