Umkehrfunktion bestimmen, Logarithmus

Question

kann mir einer sagen, wie die Umkehrfunktion lautet, bzw. wie man das berechnent?

f(x)=ln(x)+2x^3 ist die gegebene Funktion. Ich weiß, dass für f(x)=2x^3 die Umkehrfunktion f(x)=(x/2)^{1/3} ist. Aber irgendwie weiß ich nicht, wie ich mit ln(x) umgehen soll. Bitte mit Umrechnungsschritten, das wäre super. !

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Stand die Aufgabe in irgendeinem Buch ?

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Sei f : (0,∞) → R gegeben durch f(x) = ln(x) + 2x^3 . Dann ist f streng monoton steigend und differenzierbar, hat also eine differenzierbare Umkehrfunktion f^ −1 . Berechnen Sie (f^ −1 )' (2).  

Das ist der Originaltext. Das ist eine Aufgabe unseres Professors.

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Gefordert ist also nicht die Bildung der
Umkehrfunktion.

Gesucht ist die Steigung der Umkehrfunktion
an der Stelle x = 2

Ja ?

Answer 1

Deine Funktion hat keine elementare Umkehrfunktion. Du kannst Dir nur ueberlegen, dass für \(x > 0\) eine Umkehrfunktion existiert. Danach kannst Du sie z.B. mit \(\frak{spf}\) (speyes Funktion) bezeichnen (denn es handelt sich um eine neue Funktion, die mit den bekannten elementaren nicht ausdrueckbar ist) und gucken, ob Dir die Nachwelt ein Denkmal setzt, Deine Notation uebernimmt und die wundersamen Eigenschaften von \(\frak{spf}\) in langen Abhandlungen naeher untersucht. :)

Comments

Danke für die Antwort :)

Tut mir leid. Ich hab vergessen zu schreiben, dass die Funktion eine Umkehrfunktion für den Definitionsbereich (0,unendlich) hat.  Also (0,unendlich) -> R.

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Das aendert nichts an der Sache. Die Aufgabe, die Du jetzt im Kommentar oben vollstaendig angegeben hast, geht nicht so, wie Du Dir das denkst. Du sollst \({\frak spf}'(2)\) berechnen, ohne vorher \(\frak{spf}\) zu bestimmen.

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Ok, das heißt, erst die Umkehrfunktion zu bestimmen und davon die Ableitung zu bilden, funktioniert nicht, verstehe...

Answer 2

es lässt sich relativ leicht zeigen, dass \(\left( f^{-1}\right)'(f)=\frac{1}{f'}\) sein muss. Demnach gilt es, zunächst ein \(x\) zu finden, für das \(f(x)=2\) gilt. Wie Lu schon ausgeführt hat, gibt es keine Umkehrfunktion - aber wenn man sich den Graphen anschaut ...

~plot~ ln(x)+2*x^3;{1|2};[[-3|3|-1|3]] ~plot~

... sieht man sofort, dass \(f(1)=2\) ist. \(f'(x)=\frac{1}{x} + 6x^2\) also ist \(f'(1)=7\) und

$$\left( f^{-1}\right)'(2)=\frac{1}{7}$$

Gruß Werner

Answer 3

ausgehend von
( u ist die Umkehrfunktion )

u ( f ( x ) ) = x
kann abgeleitet werden
u ´( f ( x ) ) * f ´( x ) = 1

Nun ist  u ´ von 2 gesucht
u ´( 2 )  => f ( x ) = 2

ln(x) + 2*x^3 = 2
Newton Näherung ( oder man sieht die Lösung bereits )
x = 1

f ´( x ) = 1/x + 6*x^2
1/1 + 6*^2 = 7

u ´( f ( x ) ) * f ´( x ) = 1
u ´( 2 ) * 7 = 1
u ´( 2 ) = 1 / 7

Answer 4

Wenn f(x=1) = 2 und d/dx f(x=1) = 7 dann gilt f^-1(y=2) = 1 und d/dy f^-1(y=2) = 1/7

Man könnte auch mit Lambert W, aber das können nicht alle und das muss man sich hier auch nicht antun.

Answer 5

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

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Danke Dir für Deine Hilfe!!