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Aufgabe:

Gegeben sei die orthogonale Abbildung f : R^3×1 → R^3×1 , x → Ax mit

A = (1/3)( 2 2 1

              −2 1 2

              1 −2 2) . Schreiben Sie f als Produkt von höchstens 3 Spiegelungen. (A Element R^3x3)


Ich weiß leider absolut nicht weiter, da ich weder im Skript noch im Internet etwas hilfreiches finden kann.

Ich bin über jede Hilfe dankbar! :)

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Wie habt ihr denn "Spiegelung in ℝ3 " definiert.

Mann kann ja an Geraden, an Punkten oder an Ebenen spiegeln.

 Im Skript steht es so:

Eine Isometrie von V heißt Spiegelung in V , wenn ihre Fixmenge eine Hyperebene in V ist, das heißt: die Dimension ihrer Fixmenge ist n − 1. Ist M die Fixmenge einer Spiegelung, dann heißt diese Spiegelung um M.

Aha. Im R^3 heisst das bei euch n=3. Also Dimension der Fixmenge n-1 = 2. Somit ist eure Spiegelung eine Ebenenspiegelung, d.h. eine Spieglulung an einer Ebene. Die Ebene ist die Fixpunktmenge.

Danke :)

Berechnet man die Fixpunktmenge so:

2x+2y+1z=x

-2x+1y+2z=y

1x-2y+2z=z -> x=-z und y=0, stell ich dann also einen Vektor auf (1, 0, -1) × x?

Ist das korrekt so? wie müsste ich weiter vorgehen?

2x+2y+1z=x

-2x+1y+2z=y

1x-2y+2z=z

Ja. so kannst du die Fixpunktmenge der Abbildung bestimmen. Du solltest aber 1/3 nicht einfach ignorieren.

Läuft auf

2x+2y+1z=3x

-2x+1y+2z=3y

1x-2y+2z=3z

heraus

Grund: Abbildungen mit einer Matrixmultiplikation haben immer (0|0|0) als Fixpunkt. 

Das ist aber vielleicht noch keine Ebene. Und auch noch nicht eine der maximal drei Spieglungsebenen.

Was meinst du denn mit "stell ich dann also einen Vektor auf (1, 0, -1) × x? "

Du solltest nun irgendwelche geometrischen Überlegungen anstellen und/oder in deinen Unterlagen schauen, wie es weitergeht. 

Jetzt bekomme ich x=z und y=0 raus.

Bei uns im Skript steht, dass man einen Verktor v finden muss sodass f(v) ungleich v. Dann bestimmt man W:=(R(f(v)-v))^orthogonal und U:=(Rv)^orthogonal sowie die spiegelungen s_W und s_U mit Fix(s_W)=W und Fix(s_U)=U.

Was muss ich dann mit x,y,z anstellen, wenn es kein Vektor ist ?

Tut mir leid, ich weiß einfach nicht weiter :(

Geometrische Überlegungen zu:

" Jetzt bekomme ich x=z und y=0 raus. " 

Dann ist g: r = (0|0|0) + t(1|0|1) die Drehachse. Sie liegt in der Seitenebene (xz-Ebene). (0|1|0) steht z.B. senkrecht auf der Drehachse.

Deine beiden Spiegelungsebenen, müssen die Drehachse enthalten. Ausserdem entspricht der Winkel zwischen der beiden Ebenen dem halben Drehwinkel.

Um den Drehwinkel zu bestimmen kannst du z.B. den Bildvektor von (0,1,0) bestimmen. 

Dann kannst du die erste Spiegelungsebene frei wählen. Sie muss einfach die Drehachse enthalgen (z.B.  E_(1):  y=0) und die andere Ebene E_(2) dann so, dass der Winkel zwischen den beiden Ebenen stimmt.

2 Antworten

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Hallo Mathlete,

ich finde die Aufgabe interessant, daher nochmal eine ausführliche Antwort.

Du schreibst u.a.: "Tut mir leid, ich weiß einfach nicht weiter :(" Lu hat schon den richtigen Tipp gegeben "Du solltest nun irgendwelche geometrischen Überlegungen anstellen ...". Ich denke da liegt der Schlüssel zum Verständnis der gesamten Aufgabe. IMHO kann jede orthogonale Abbildung als Aneinanderreihung von 2 bzw. 3 Spiegelungen beschrieben werden. Die dritte Spiegelung ist nur notwendig, wenn die Abbildung \(A\) 'links-drehend' ist. Das ist hier aber nicht der Fall, was sich schnell feststellen lässt, wenn man das Kreuzprodukt der ersten beiden Spalten von \(A\) bildet und mit der dritten Spalte vergleicht - also reichen hier 2 Spiegelungen.

Zum weiteren Verständnis betrachte den 2-dimensionalen Fall:

Bild Mathematik

Du siehst dort den Punkt \(P\), der an der roten Achse nach \(P^*\) und von dort an der zweiten roten Achse nach \(P'\) gespiegelt wird. Die Kombination beider Spiegelungen entspricht einer Rotation um den blauen Winkel um den Punkt \(O\), dem Schnittpunkt der beiden roten Achsen. Der blaue Winkel der Rotation ist dabei immer doppelt so groß wie der Schnittwinkel der beiden Achsen. Dabei ist es egal, wie die Achsen liegen, verschiebt man sie in die grüne Position, ist das Zwischenergebnis \(P^{**}\) zwar ein anderes aber das Bild \(P'\) fällt wieder auf den gleichen Punkt wie vorher. Nur der Winkel der Achsen zueinander ist wieder identisch zu vorher.

Im 3-dimensionale wird es etwas schwieriger, da man zunächst die Rotationsachse finden muss. Bei einer linearen Abbildung durch eine orthogonale Rotationsmatrix ist der Drehpunkt in 2D immer der Ursprung (\(O\) im Bild oben). In 3D läuft die Drehachse zwar auch durch den Ursprung, aber ihre genaue Lage muss noch bestimmt werden. Dazu sucht man die sogenannte Fixmenge, d.h. alle Punkte, die durch die Transformation nicht verändert werden. Das sind bei einer Drehung natürlich alle Punkte auf der Drehachse - also eine Gerade. Sei \(d\) ein Punkt auf der Drehachse, so muss also gelten, dass

$$A \cdot d = d \space \Rightarrow (A-E)\cdot d = 0$$

(\(E\) ist die Einheitsmatrix) \(|A-E|\) muss natürlich =0 sein, da sonst die Gleichung nur die Triviallösung \(d=0\) hat. Das ist übrigens identisch mit der Bestimmung des Eigenvektors (hier \(d\)) für den Eigenwert \(\lambda=1\). Und das hast Du oben auch richtig gemacht. Nur die Lösung muss heißen \(x=z\); \(y=0\). Substituiert man \(t\) für \(x\) so lautet die Geradengleichung der Drehachse \(d\)

$$d(t)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \cdot t$$

Und um das ganze zu veranschaulichen habe ich Dir das in Geoknecht dargestellt:

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=vektor(0%7C0%7C0%202%7C-2%7C1)%0Apunkt(2%7C-2%7C1%20%22X%22)%0Avektor(0%7C0%7C0%202%7C1%7C-2)%0Apunkt(2%7C1%7C-2%20%22Y%22)%0Avektor(0%7C0%7C0%201%7C2%7C2)%0Apunkt(1%7C2%7C2%20%22Z%22)%0Agerade(0%7C0%7C0%201%7C0%7C1)%7B0FF%7D

Die hellblaue Gerade ist die Rotationsachse und die drei Vektoren X, Y und Z sind das durch \(A\) transformierte - also gedrehte - Koordinatensystem.

Jetzt bleibt noch zwei Spiegelebenen zu finden. Man könnte natürlich den Drehwinkel berechnen und dann zwei beliebige Ebenen wählen, deren Schnittgerade =\(d\) ist, und deren Schnittwinkel gleich dem halben Drehwinkel ist. In Deinem Script heißt es aber "Dann bestimmt man W:=(R(f(v)-v))orthogonal und U:=(Rv)orthogonal sowie die Spiegelungen s_W und s_U mit Fix(s_W)=W und Fix(s_U)=U." Dazu betrachten wir wieder den 2-dimensional Fall:

Bild Mathematik

Man wählt einen Punkt \(V\), der nicht auf der Drehachse liegt (hier in 2D heißt das: \(V\ne O\)) und legt die erste Spiegelachse durch \(OV\). Und dann bestimmt man den Differenzvektor \(f(V)-V\) und legt die zweite Spiegelachse senkrecht zu diesem Vektor und durch \(O\). So haben wir auf einfache Weise zwei Spiegelachsen gefunden, deren Verknüpfung die gewünschte Drehung ergibt.

Das ganze gilt es jetzt auf unseren Fall in 3D zu übertragen. Dazu wähle ich \(V=(0;1;0)\) Die Ebene \(U\), die \(d\) und \(V\) enthält, ist

$$U: \space \frac{1}{2} \sqrt{2}\begin{pmatrix}  -1 \\0 \\ 1\end{pmatrix} \cdot \vec{x}=0; \quad \text{folgt aus:} \space d \times V=\begin{pmatrix}  -1 \\0 \\ 1\end{pmatrix}$$

Für \(W\) ist \(f(V)-V\) bereits der Normalenvektor der gesuchten Ebene

$$f(V)-V=A \cdot V - V=\frac{2}{3}\begin{pmatrix}  1 \\-1 \\ -1\end{pmatrix}$$

demnach gilt

$$W: \space \frac{1}{3} \sqrt{3}\begin{pmatrix}  1 \\-1 \\ -1\end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 0$$

Die Matrizen für die zugehörigen Abbildungen \(s_W \rightarrow x'=A_W \cdot x\) und \(s_U \rightarrow x'=A_U \cdot x\) sind

$$A_W=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}  1 & 2 & 2\\ 2 & 1 & -2  \\ 2 &-2 &1\end{pmatrix}$$

$$A_U=\begin{pmatrix}  0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0  \\ 1 &0 &0\end{pmatrix}$$

mit \(A=A_W \cdot A_U\). Falls Du dazu noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Avatar von 48 k

Respekt, ich ziehe den Hut!

0 Daumen

Keine Lösung, aber vielleicht ein Hinweis:

A hat den Eigenwert 1 und dazu gehören Eigenvektoren  der Form    v =  ( a ; 0 ; a )T  , das sind die  Ortsvektoren

der Fixpunkte. Sie liegen also auf der Geraden mit der Gleichung  x = t*v  mit t ∈ R .

Dann ist es vielleicht eine Drehung um diese Gerade.

Dann kann man es vielleicht sogar durch zwei Spiegelungen an zwei Ebenen erzeugen,

dabei müssen die Ebenen die Gerade enthalten.

Avatar von 289 k 🚀

Auf den Vektor v komme ich doch dann auch in dem ich den Fixpunkt berechne oder? Der wäre ja (x 0 x).

Wie finde ich jetzt aber so eine Ebene?

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