sin(2pi/3 + pi/3) mit Addititonstheorem und folgern dass cos(pi/3) = 1/2

Question

Ist zwar schon spät, aber:

Ich soll mittels Additionstheorem $$sin\bigg(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\bigg)$$ bestimmen und anschließend folgern, dass $$cos\bigg(\frac{\pi}{3}\bigg) = \frac{1}{2}$$ ist.
Additionstheorem ist kein Problem, ich weiß aber absolut nicht, wie ich nun folgern soll, dass cos(pi/3) = 1/2 ist.Kann jemand weiterhelfen?

Answer 1

Wenn ich etwas folgern soll, muss ich wissen, was ich voraussetzen darf. Die Sinus- und Cosinuswerte der Winkel π/3 und 2π/3 stehen in der Formelsammlung (oder ich kenne sie auswendig, bzw. leite sie mir her). Darf ich das voraussetzen? Wohl kaum,denn dann brauchte ich hier nichts mehr zu folgern.  Trotzdem: Ich setze voraus: sin(π/3)=√3/2, sin(2π/3)=√3/2, cos(2π/3)=-1/2. Dann gilt nach einem Additionstheorem: √3/2 ·cos(π/2) + (- 1/2)·(√3/2) = 0 und dann cos(π/2) = 1/2.

Answer 2

eine Möglichkeit:

sin(2π/3 +π/3)=0

Mit Additionstheoreme:

sin(2π/3 +π/3)

=sin(2π/3)COS(π/3)+COS(2π/3)sin(π/3)

=2*sin(π/3)COS^2(π/3)+(2cos^2(π/3)-1)sin(π/3)=0

sin(π/3)[4cos^2(π/3)-1]=0

COS^2(π/3)=1/4

COS(π/3)=±1/2

Die Wahl des richtigen Vorzeichens kann man anhand des Einheitskreises sich erschließen.