Das Summenzeichen ist keine Vorausetzung um eine Summenformel mit vollständiger Induktion zu beweisen - Du hast das ja oben völlig korrekt auch ohne gelöst.
Das Summenzeichen verkürzt aber die Schreibweise und ist vor allem auch immer eindeutig. Eine Schreibweise in der Art von \(1+3+5+...+(2n-1)\) könnte ja auch \(1+3+5+...+(2n+1)\) heißen. Es ist so nicht unmittelbar klar in welchen Grenzen sich das \(n\) bewegt.