Wendetangente. Wo schneidet sie die x-Achse und unter welchem positiven Winkel?

Question

Hallo: Habe hier folgendes Beispiel:

 

Gegeben ist die Funktion f mit   f (x) = 1/4 x^3 − 3x^2 + 9x

Berechnen Sie, in welchem Punkt und unter welchem (positiven) Winkel die Wendetangente die x-Achse schneidet? Zeichnen Sie die Ergebnisse in b) ein!

 

Berechnet habe ich:

b) N1=(0/0); N2=(6/0); H=(2/8); T=(6/0); W=(4/4)

Und die Wendetangente lautet ( hoffentlich richtig): -3x+ 16 

Ergebnis soll sein:

c) S=(16/3 ;0 );

ϕ =108,44

Nachtrag: Präzision:

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Funktionsgraphen, der Wendetangente und der y-Achse begrenzt wird.

Answer 1

Schreib jeweils eine vollständige Funktionsgleichung für die Tangente t.

t: y = -3x+ 16 

Nun brauchst du den Schnittpunkt mit der x-Achse. Dort gilt y = 0.

Daher 0= -3x+ 16 

3x = 16

x = 16/3. Schnittpunkt mit x-Achse S(16/3 , 0)

Schnittwinkel entspricht Steigungswinkel ALPHA = arctan (-3) = - 71.565°.

Das Einzige: Schnittwinkel von Geraden sind in den meisten Büchern weder stumpf noch negativ. Daher 71.565°.

Es könnte auch sein, dass dein Lehrer hier im Gegenuhrzeigersinn misst und 180° - 71.565° = 108.435° messen möchte.

Comments

okay!!!!
Also verstanden habe ich jetzt alles, bis auf:
Warum ist der y-Wert des Schnittpunktes 0?

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Weil auf der x-Achse für alle Punkte gilt: y = 0.

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Okay danke!!

Ich muss nun das Integral berechnen.

Berechnen sie den Inhalt der Fläche, die vom Funktionsgraphen, der Wendetangente und der y-Achse begrenzt wird.

Ich glaube, ich zeichne das falsch.. wie zeichne ich denn nun mit den Informationen:


wendetangente: t(x) = -3x + 16
Schnittpunkt: ( 5,3  /0)

?

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Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Funktionsgraphen, der Wendetangente und der y-Achse begrenzt wird.

Da berechnest du das bestimmte Integral der Differenz  der beiden Funktionen von 0 bis x

∫_o⁴ f(x) - t(x) dx. Sollte etwas Negatives rauskommen, nimmst du einfach den Betrag.

Mach aber mal mit dem Funktionsplotter eine Skizze, damit du weisst, was du machst.

Du berechnest das abgerundete Dreieck mit der Ecke E(0|16). Und wirst tatsächlich die negative Fläche rausbekommen, wenn du über f(x) - g(x) integrierst.

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das versteh ich jetzt nicht ganz.. könntest du das bitte genauer erklären?

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Schau mal die Skizze an. Eingeschlossene Flächen kannst du immer über die Differenz der Funktionsgleichungen berechnen, solange sie sich nicht kreuzen.

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Oje.. ich stehe auf der Leitung..

Vom theoretischen her würde ich zuerst das Integral von O auf 5,3 berechnen,
und dann das Integral von 0 auf 16, und dann die Differenz bilden.. o.O

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Ah. Jetzt konnte ich es berechnen.
ABER.
Warum rechne ich mit dem Integral von 4??

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Die Grenze ist ja bei x=4. Im Wendepunkt schneiden sich Kurve und Tangente. 'Eingeschlossen' ist nur das Gebiet bis zum Wendepunkt. Das 'abgerundete Dreieck'.

Answer 2

f(x) = 1/4·x^3 - 3·x^2 + 9·x

f''(x) = 0
3·x/2 - 6 = 0
x = 4

t(x) = f'(4) * (x - 4) + f(4) = 16 - 3·x

t(x) = 0
16 - 3·x = 0
x = 16/3

α = arctan(-3) = -71.56505117

Die x-Achse wird im Winkel von 71.57 / 108.43 Grad geschnitten.

Sieht also alles richtig aus. Du hast die Funktion nur nicht richtig hier notiert gehabt. Zum Glück konnte sie ich aus den gegebenen Punkten rekonstruieren.

Comments

warum ist der schittpunkt denn 5,3/0? woher kommt die 0?

und warum α = arctan(-3)  -3?

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habe ich verstanden :)