Seien a1, a2, b1, b2, c1, c2 ∈ ℤ mit (a1, a2) ≤ (b1, b2) und (b1,b2) ≤ (c1, c2).
Wegen (a1, a2) ≤ (b1, b2) ist a1 ≤ b1.
Wegen (b1,b2) ≤ (c1, c2) ist b1 ≤ c1.
Wegen der Transitivität von "≤" auf ℤ ist dann auch a1 ≤ c1.
TODO: Schlussfolgere auf ähnlich Weise, das a2 ≤ c2. Begründe, warum damit die Transitivität von "≤" auf ℤ×ℤ gezeigt ist.
Seien a1, a2 ∈ ℤ.
TODO Begründe, warum dann (a1, a2) ≤ (a1, a2) gilt indem du die Reflexivität von "≤" auf ℤ verwendest. Damit hast du die Reflexivität von "≤" auf ℤ×ℤ gezeigt.
Seien a1, a2, b1, b2 ∈ ℤ mit (a1, a2) ≤ (b1, b2) und (b1, b2) ≤ (a1, a2).
TODO Begründe, warum dann (a1, a2) = (b1, b2) gilt. Damit hast du dann die Antisymmetrie von "≤" auf ℤ×ℤ gezeigt.
Zuletzt: begründe warum die Ordnung nicht total ist.