Tschebyscheff Polynome üben vollständige Induktion

Question

ich weiß leider nicht, wie ich folgende Aussage Beweise:

T_n(x) = (−1)ⁿT_n(−x).

Induktionsfang: n=0

T_0 = 1 = (-1)^0 T_0(x)

Induktionsvoraussetzung(IV):

T_n(x) = (−1)ⁿT_n(−x).

Induktionsschritt:

Komm ich gar nicht voran...

Comments

Irgendwo wird wohl die Definition dieser Polynome ins Spiel kommen.

Wie habt ihr sie denn definiert?

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Also T_0 (x)=1

T_1 (x)=x

T_{k+1} =2xT_k(x) − T_k−1(x) für k > 0

Answer 1

Hallo Sonnenblume,

Für \(n=0\), \(n=1\) und \(n=2\) lässt sich leicht belegen, dass \(T_n(x)=(-1)^n T_n(-x)\) ist. Damit wäre der Induktionsanfang erfüllt. Jetzt der Übergang von \(n\) nach \(n+1\):

$$T_{n+1}(x)= 2xT_n(x) - T_{n-1}(x)= 2x (-1)^n T_n(-x) - (-1)^{n-1}T_{n-1}(-x)$$

Jetzt ist aber \((-1)^{n-1} = (-1)^{n+1}\) und \((-1)^n=-(-1)^{n+1}\). Das setze ich ein und erhalte:

$$ \space = -2x(-1)^{n+1} T_n(-x) - (-1)^{n+1}T_{n-1}(-x) $$

$$ \space = (-1)^{n+1} \left( 2(-x) T_n(-x) - T_{n-1}(-x) \right) = (-1)^{n+1} T_{n+1}(-x)$$

q.e.d.

Gruß Werner