Berechnen Sie durch Integration ...
Das ist ein Lösungshinweis, dem man folgen koennte.Wegen Schwarz kann man die Gleichung als $$(u_y+u)_x=1-2x$$ schreiben. Ein Mal nach \(x\) integrieren (vgl. Hinweis) ergibt $$u_y+u=x-x^2+h(y)$$ mit einer beliebigen Funktion \(h\). Wenn man \(x\) als Parameter betrachtet, ist das eine gewoehnliche Differentialgleichung erster Ordnung in \(y\) von der Sorte linear und inhomogen. Zu loesen wie ueblich. Es schreibt sich schoener, wenn man \(h(y)=g'(y)e^{-y}\) setzt. Als allgemeine Lösung erhaelt man damit $$u(x,y)=x-x^2+[f(x)+g(y)]e^{-y}$$ mit beliebigen Funktionen \(f\) und \(g\), die aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen sind. Endergebnis: $$u(x,y)=-x^2+y^2+x-3y+2+2(x-1)e^{x-y}.$$
