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Eine unendliche Dezimalzahl x = 0,a1a2a3a4 . . . mit den Ziffern ak ∈ {0; 1; 2;. . ., 9}, k ∈ ℕ, ist defi niert durch

Bild Mathematik

Eine Dualzahl erhält man, wenn ak ∈ {0,1}, k ∈ ℕ, und in der Darstellung (1) die 10-kdurch 2-k ersetzt wird.

a) Zeigen Sie, dass 0,9 (periode) := 0,9999999... = 1 ist.

b) Welche rationale Zahl r = p/q, p,q ∈ ℕ, definiert die Dualzahl  0,01 (periode) = 0,010101010101...?

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2 Antworten

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a) Sei ε > 0. Finde ein n, so dass 1 - ∑k=1..n 9/10k < ε ist.

Tipp: Wegen 1/10m → 0 für m → ∞ gibt es ein p, so dass 1/10p < ε. Es reicht also, zu zeigen, dass für jedes p ein n gibt, so dass 1 - ∑k=1..n 9/10k < 1/10p ist.

b)

        0,0̅1̅
    = ∑k=1.. 1/22k        (laut Definition)
    = ∑k=1.. 1/4k          (wegen Potenzgesetzen)
    = -1 + ∑k=0.. 1/4k  (wegen 1/40 = 1, N.B. die Reihe fängt jetzt bei 0 an)
    = -1 + 1/(1 - 1/4)     (Grenzwert Geometrische Reihe)
    = 1/3

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b) probier mal 10/99

(0.01 Periode 

=1/10 ∑ (n=0 bis ∞) (1/100)^n )

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