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Liebe Mathefreunde,

Ich hoffe ihr hattet/ habt ein paar schöne Feiertage :)

Ich habe wieder eine Aufgaben, die ich nicht lösen kann.

Bin für jeden Lösungsweg dankbar.


20171225_191031.png

EDIT: Nachtrag: Aufgabenstellung lautet:

Finden Sie mit Hilfe der Fouriermethode alle Lösungen der partiellen DGL.

u_(t) = 4u_(xx) für 0≤ x ≤ l_(kursiv), t> 0.

Zusätzlich sind die Nebenbedingungen (Siehe Bild) angegeben.

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EDIT: Bitte Text auch als Text eingeben und restliche Schreibregeln einhalten. Danke https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Mit Abtippen kannst du schon mal beginnen:) Einfach einen Kommentar nachreichen.

Ok, danke für den Hinweis.


Die Aufgabenstellung lautet:

Finden Sie mit Hilfe der Fouriermethode alle Lösungen der partiellen DGL.

Zusätzlich sind die Nebenbed. (Siehe Bild) angegeben.


Habe das jetzt oben ergänzt. Vielleicht kommt bald jemand mit der Aufgabe klar. - Sind natürlich Ferien. 

Fouriermethode heisst ja wohl, erstmal Variablentrennung zu machen, oder? Was hast Du da schon gemacht?

Wir hatten eine ähnliche Aufgabe in der Übung mit Randbed. (RB) und Anfangsbed. Leider wurde diese aus Zeitgründen nicht komplett besprochen und nur angeschrieben ohne jegliche Erklärung...

20171227_215648.jpg 20171227_215748.jpg 20171227_215811.jpg

Ist doch eine ganz gute Vorlage. Bei Deiner Aufgabe kannst Du gleich mit der Variablentrennung anfangen, \(u(x,t)=g(t)h(x)\). Gibt wie oben \(\dot{g}h=4gh''\). Wenn man loest und die Randbedingungen \(u_x(0,t)=u_x(\ell, t)=0\) beachtet, sollte jetzt $$u_n(x,t)=\exp\left(-\frac{4n^2\pi^2t}{\ell^2}\right)\cos\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)\qquad(n=0,1,2,\ldots)$$ rauskommen. Rechne mal nach, vielleicht hab ich mich verrechnet ...

Danke für den Ansatz!

Ich weiß noch nicht wie ich auf die 4 komme, aber ich werde es morgen genau so ausprobieren und meinen Versuch hochladen.

 

also entweder haben wir uns beide verrechnet oder das Ergebnis ist richt, da ich das gleiche rausbekomme XD

Ich versuche nochmal die andere Aufgabe aus der Übung zu rechnen, bevor ich diese komplizierte löse. Ich komme nämlich nicht weiter...

Die Bedingung \( u(x,0) = x^2(3 l - 2 x)  \) ist mit der angegebenen Lösung nicht erfüllt.

Es wird noch jemand eine Fourierreihe für die Anfangsbedingung beisteuern muessen ...

ich habe gerade eine ausführlichere Lösung zur Beispielaufgabe erhalten:

Übungsaufgabe Beispiel.pdf (1,6 MB) 

Vielleicht hilft uns das bei der Lösung dieser Aufgabe weiter? 


Ich wünsche euch allen einen guten Rutsch ins neue Jahr 2018!

1 Antwort

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Beste Antwort

Hi,
der Produktansatz \( u(x,t) = f(x) g(t) \) führt auf folgende Dgl.
$$ (1) \quad f(x) g'(t) = 4 f''(x) g(t) $$ daraus folgt die Gleichung
$$ (2) \quad \frac{1}{4} \frac{g'(t)}{g(t)} = \frac{f''(x)}{f(x)} = \lambda = const $$
Also muss gelten
$$ (3) \quad \frac{1}{4} \frac{g'(t)}{g(t)} = \lambda $$ und
$$ (4) \quad \frac{f''(x)}{f(x)} = \lambda $$
Gleichung (3) hat die Lösung
$$ (5) \quad g(t) = C_1 e^{4 \lambda t} $$ und Gleichung (4) hat die Lösung
$$ (6) \quad f(x) = C_2 e^{\sqrt{\lambda} \cdot x} + C_3 e^{-\sqrt{\lambda} \cdot x} $$
Damit sieht die Lösung wie folgt aus
$$ (7) \quad u(x,t) = C_1 e^{4 \lambda t} \left( C_2 e^{\sqrt{\lambda} \cdot x} + C_3 e^{-\sqrt{\lambda} \cdot x} \right) $$
Die partielle Ableitung der Lösung \( u(x,t) \) nach \( x \) sieht also so aus
$$ (8) \quad u_x(x,t) = C_1 e^{4 \lambda t} \left( C_2 \sqrt{\lambda} e^{\sqrt{\lambda} \cdot x} - C_3 \sqrt{\lambda} e^{-\sqrt{\lambda} \cdot x} \right) $$
Die Randbedingung \( u_x(0,t) = 0 \) ist erfüllt, wenn gilt (einsetzten in (8))
$$ (9) \quad u_x(0,t) = C_1 e^{4 \lambda t} \sqrt{\lambda} (C_2 - C_3) = 0 $$ also gilt \( C_2 = C_3 \) oder \( \lambda = 0 \), aber
\( \lambda = 0 \) entfällt aber wegen \( u(x,0) \ne \text{const} \)
Damit hat die Lösung folgende Form angenommen
$$ (10) \quad u(x,t) = C e^{4 \lambda t} \left( e^{\sqrt{\lambda} \cdot x} + e^{-\sqrt{\lambda} \cdot x} \right) $$
Außerdem muss gelten \( u_x(L,t) = 0 = C e^{4 \lambda t} \left( \sqrt{\lambda} e^{\sqrt{\lambda} \cdot L} - \sqrt{\lambda} e^{-\sqrt{\lambda} \cdot L} \right) \)
Daraus folgt
$$ (11) \quad e^{2\sqrt{\lambda} \cdot L} = 1 $$ und daraus folgt
$$ (12) \quad \lambda_k = -\frac{\pi^2 k^2}{L^2} $$
Damit gibt es für \( k \in \mathbb{Z} \) folgende Lösungen
$$ (13) \quad u_k(x,t) = C_k e^{4 \lambda_k t} \left( e^{\sqrt{\lambda_k} \cdot x} + e^{-\sqrt{\lambda_k} \cdot x} \right) = 2 C_k e^{4 \lambda_k t} \cos\left( \frac{ \pi k}{L} x \right)    $$
Die Addition all dieser Lösungen ist ebenfalls eine Lösung, also gilt
$$ (14) \quad u(x,t) = \sum_{k=-\infty}^\infty u_k(x,t) = \sum_{k=-\infty}^{-1} u_k(x,t) + u_0 + \sum_{k=1}^\infty u_k(x,t) $$
(14) kann man auch schreiben als
$$ (15) \quad u(x,t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty a_k \cos\left( \frac{ \pi k}{L} x \right) e^{-4 \frac{\pi^2 k^2}{L^2} t} $$ mit geeigneten Konstanten.
Nun  muss noch gelten \( u(x,0) = u_0(x) = x^2 ( 3L - 2x) \)

Da (15) die Form einer Fourierreihe hat, muss \( u_0(x) \) in eine Fourierreihe entwicklet werden. Da in (15) nur Kosinus Terme auftreten, setzt man \( u_0(x) \) symmetrisch auf dem Intervall \( [ -L, 0 ] \) fort durch \( u_0(x) = u_0(-x) \)
Damit ergeben sich die Fourierkoeffizienten \( \tilde a_k\) und \( \tilde b_k \) von \( u_0(x) \) zu
$$ (16) \quad \tilde a_k = \frac{24 L^3 \left[ (-1)^k - 1 \right] }{ \pi^4 k^4} \text{ für } k=1,2 \cdots \text{ und } \ \ a_0 = L^3 $$ sowie
$$ (17) \quad \tilde b_k = 0 $$
Damit ergibt sich die Lösung insgesamt zu
$$ (18) \quad u(x,t) = \frac{L^3}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{24 L^3 \left[ (-1)^k - 1 \right] }{ \pi^4 k^4} \cos\left( \frac{ \pi k}{L} x \right) e^{-4 \frac{\pi^2 k^2}{L^2} t}  $$

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zuerst einmal wünsche ich dir ein frohes, neues und erfolgreiches Jahr und vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Ich habe noch folgende Fragen zu deiner Lösung:

- Wie kommt man auf Gl. (11) und (12)?

- Wie kommt man von (14) auf (15)? Gibt es hierzu einen Zwischenschritt?

- Zu 17: Warum ist bk=0?

Und allgemein wüsste ich gerne, ob es eine Art "Kochrezept" für solche Aufgaben gibt, bzw. woran man erkennt, welchen Ansatz man am besten wählen sollte?


Vielen lieben Dank für deine Hilfe!

Hi,

(1) Gleichung (11) und (12)

Aus \( u_x(L,t) = 0 = C e^{4 \lambda t} \left( \sqrt{\lambda} e^{\sqrt{\lambda} L} - \sqrt{\lambda} e^{-\sqrt{\lambda} L} \right) \) folgt

$$ \lambda = 0 \ \text{ oder } \ e^{\sqrt{\lambda} L} - e^{-\sqrt{\lambda} L} = 0 $$

\( \lambda = 0 \) führt zu keiner sinnvollen Lösung, s. (9), also muss gelten

\( e^{\sqrt{\lambda} L} = e^{-\sqrt{\lambda} L}  \) daraus folgt \(  e^{2\sqrt{\lambda} L} = 1 = e^{ 2 i \pi k } \) und daraus folgt

\( 2\sqrt{\lambda} L =  2 i \pi k \) also \( \lambda_k = -\frac{\pi^2 k^2}{L^2} \)


(2) Aus (14) folgt (15)

$$  u(x,t) = \sum_{k=-\infty}^\infty u_k(x,t) = \sum_{k=-\infty}^{-1} u_k(x,t) + u_0 + \sum_{k=1}^\infty u_k(x,t) $$

\( u_k(x,t) = C_k e^{4 \lambda_k t} \left( e^{\sqrt{\lambda_k} \cdot x} + e^{-\sqrt{\lambda_k} \cdot x} \right) = 2 C_k e^{4 \lambda_k t} \cos\left( \frac{ \pi k}{L} x \right) \)

Damit gilt \( u_0(x,t) = 2 C_0 = \frac{a_0}{2} \)

$$ \sum_{k=-\infty}^{-1} u_k(x,t) = \sum_{k=1}^{\infty} u_{(-k)}(x,t) = \sum_{k=1}^{\infty} 2 C_{(-k)} e^{4 \lambda_{(-k)} t} \cos\left( -\frac{ \pi k}{L} x \right) = \\ \sum_{k=1}^{\infty} 2 C_{(-k)} e^{4 \lambda_{k} t} \cos\left( \frac{ \pi k}{L} x \right) $$

weil der Kosinus eine gerade Funktion ist und \( \lambda_{(-k)} = \lambda_k \) gilt.

Also gilt

$$ \sum_{k=-\infty}^{-1} u_k(x,t) + \sum_{k=1}^\infty u_k(x,t) = \sum_{k=1}^\infty 2 \left(  C_{(-k)} +C_k \right) \cos\left( \frac{ \pi k}{L} x \right) e^{-4 \frac{\pi^2 k^2}{L^2} t} $$

also gilt

$$ \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty a_k \cos\left( \frac{ \pi k}{L} x \right) e^{-4 \frac{\pi^2 k^2}{L^2} t} $$

mit \( a_k = 2 \left(  C_{(-k)} +C_k \right) \) und \( a_0 =  4 C_0  \)


(3) Warum ist \( \tilde b_k = 0 \)

\( u_0(x,t) =  x^2 ( 3L - 2x) \) ist symmetrisch fortgesetzt worden auf \( [-L, \ L ] \), deswegen kann die Fourierreihe von \( u_0(x,t) \) nur Kosinustherme enthalten. Kämen auch Sinusterme vor, wäre die Funktion nicht mehr symmetrisch. Also muss \( \tilde b_k = 0 \) gelten.

In welchem Semester und welchem Studiengang kommen solche Aufgabe vor. Würde mich interessieren. Ich hatte PDGL's ab dem 5. Semster.

Ich habe diese Matheaufgabe in Mathe 3 als Auflagen bekommen. Normalerweise hat man solche Aufgaben im 4. Semester Elektrotechnik, aber ich habe vor ca. 2 Jahren den Bachelor in Medizintechnik gemacht und muss muss mir nun alles selber aneignen (neben einer Vollzeitbeschäftigung)...Bei mir ist Mathe mindestens 4 Jahre her ^^ 

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