Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsvariablen

Question

Ich komme bei folgendem Beispiel gerade nicht weiter:

"Bei einem Glücksrad, das vier gleich große Flächen hat, müssen pro Spieldurchgang 2 Euro eingesetzt werden. Am roten Feld erhält man 2 Euro, am gelben Feld 2,5 Euro, am blauen Feld 3 Euro und am grünen Feld leider nichts.

(1) Die Zufallsvariable X beschreibt den Gewinn bei einmaligem Drehen des Glückrades. Berechne E(X), V(X) und σ. Interpretiere die Ergebnisse.

(2) Die Zufallsvariable Y beschreibt den Gewinn bei zweimaligem Drehen des Glückrades. Berechne E(Y), V(Y) und σ. Interepretiere die Ergebnisse."

Also ich habe (1) erfolgreich gelöst, hier mein Rechenweg:

E(X) = 2 · 1/4 + 2,5 · 1/4 + 3 · 1/4 = 1,875 → E(X) - 2 Euro = -0,125

V(X) = (2 - 1,875)² · 1/4 + (2,5 - 1,875)² · 1/4 + (3 - 1,875)² · 1/4 + (0 - 1,875)² · 1/4 ≈ 1,297 → σ = √1,297 ≈ 1,139

Interpretation: Der durchschnittliche Gewinn streut mit 1,139 um den Erwartungswert -0,125. Der zu erwartende Gewinn ist ein Verlust, da 2 Euro eingesetz werden müssen.

Mein Problem ist (2), das 2x Drehen irritiert mich etwas... irgendwer einen Lösungsvorschlag?

Danke schon mal im Voraus!!

Answer 1

E(X) = (2 - 2)·1/4 + (2.5 - 2)·1/4 + (3 - 2)·1/4 + (0 - 2)·1/4 = -0.125

V(X) = (2 - 2)^2·1/4 + (2.5 - 2)^2·1/4 + (3 - 2)^2·1/4 + (0 - 2)^2·1/4 - (-0.125)^2 = 1.296875

σ(X) = √1.296875 = 1.138804197

Bei der Varianz liegst du verkehrt. Das solltest du nochmals machen. Während du beim Erwartungswert des Gewinns, den Erwartungswert der Auszahlung minus Erwartungswert der Einzahlung bilden darfst, darfst du das bei der Varianz nicht machen. Du kennst eventuell noch nicht die Additionsregeln von Erwartungswert und Varianz und solltest daher auch nie so rechnen. Nimm also immer den Gewinn und nicht die Auszahlung.

An Aufgabe 2 kannst du über 2 Lösungswege herangehen. Einmal stellst du wieder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Gewinn auf und rechnest mit den dir bekannten Formeln für Erwartungswert und Varianz wie bei Teil (1). Der 2. Weg ist deutlich einfacher. Dazu müsstest du aber wissen wie sich der Erwartungswert und die Varianz zweier unabhängiger Zufallsgrößen verhalten.

So sollte gelten

E(Y) = E(X + X) = E(X) + E(X) = 2 * E(X) = -0.25

V(Y) = V(X + X) = V(X) + V(X) = 2 * V(X) = 2.59375

σ(X) = √2.59375 = 1.610512340

Über den ersten Weg sollte das so aussehen.

E(X) = (0 - 4)·1/16 + (2 - 4)·2/16 + (2.5 - 4)·2/16 + (3 - 4)·2/16 + (4 - 4)·1/16 + (4.5 - 4)·2/16 + (5 - 4)·3/16 + (5.5 - 4)·2/16 + (6 - 4)·1/16 = -0.25

V(X) = (0 - 4)^2·1/16 + (2 - 4)^2·2/16 + (2.5 - 4)^2·2/16 + (3 - 4)^2·2/16 + (4 - 4)^2·1/16 + (4.5 - 4)^2·2/16 + (5 - 4)^2·3/16 + (5.5 - 4)^2·2/16 + (6 - 4)^2·1/16 - (-0.25)^2 = 2.59375

Aus Vereinfachungsgründen rechne ich bei der Varianz immer über den Verschiebungssatz. Du darfst natürlich auch eure Formel nehmen.