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:)

Ich habe diesmal zu folgender Aufgabe eine Frage:

Me.PNG

Bei der a) weiß ich selbst nach mehreren Stunden nicht, wie ich da anzufangen habe.. Ich weiß, dass mit dem Integral meistens die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse ausgerechnet wird, aber ich weiß nicht wie ich damit weiter arbeiten kann...

Wäre über eine Erklärung sehr dankbar! :)

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Hi,

zur a):

Es gilt:

$$\begin{aligned}\overset{b}{\underset{k=a+1}{\sum}}f(k) &= 1 \cdot f(b)+ 1 \cdot f(b+1)+ \ldots + 1 \cdot f(a+2) + 1 \cdot f(a+1) \\ &\le \overset{b}{\underset{b-1}{\int}} f(x) \ dx + \overset{b-1}{\underset{b-2}{\int}} f(x) \ dx  + \ldots + \overset{a+2}{\underset{a+1}{\int}} f(x) \ dx + \overset{a+1}{\underset{a}{\int}} f(x) \ dx \\ &= \overset{b}{\underset{a}{\int}} f(x) \ dx \end{aligned}$$

Die Ungleichung in der zweiten Zeile gilt wegen der Monotonie.

Probiere nun die zweite Ungleichung aus der Aufgabe selbst. 

b) 

Tipp: Wähle \(a,b\) und \(f\) so, dass \(\overset{b}{\underset{a}{\int}} f(x)=ln(n+1)\).

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 Vielen Dank für deineAntwort! :)

Allerdings versehe ich die Abfolge deiner Summe nicht.. Es wird von a+1 bis b aufsummiert oder? 1⋅f(b)+1⋅f(b+1)+…+1⋅f(a+2) - wie ist das möglich? Vor allem, dass da f(b+1) steht verwirrt mich ein Bisschen.. Und wie hast du die einzelnen Funktionen in Integral umgeschrieben?

Tut mir sehr Leid, stehe leider völlig auf dem Schlauch :(

Bitteschön :) Sorry, da sollte natürlich ein \(f(b-1) \) hin. Ich habe die Summe einfach ausgeschrieben und vor jeden Summanden noch mit 1 multipliziert. Es gilt beispielsweise:$$1 \cdot f(b) =\int_{b-1}^b f(b) \ dx \le \int_{b-1}^b f(x) \ dx$$Dies gilt, da wegen der Monotonie \(f(b) \le f(x) \) für \(x \le b \) gilt.


Sorry für die späte Antwort,

ich bin auf das hier gekommen (hoffentlich kannst du meine Schrift lesen :D)qrq.PNG

Passt das so?

Kein Ding.

Nach der Zeile wo steht "Monotonieregel anwenden", würde ich eher sowas schreiben wie:

"da \(f(x) \le f(a)\) für alle \(x \in [a,a+1]\). Analog gehen wir bei den anderen Intervallen vor."

Du betrachtest ja dort nicht das gesamte Intervall \([a,b]\) dort, sondern nur \([a,a+1]\).

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