Relationen. Zeige: R ist Äquivalenzrelation genau dann, wenn IdM ∈ R und R ∈ R^-1 • R:

Question

Es sei R eine binäre Relation über einer Menge M und
IdM bezeichnet wie üblich die Identische Relation über M.
Beweisen Sie:
R ist Äquivalenzrelation genau dann, wenn IdM ∈ R und R ∈ R^-1 • R:

Nun weiß ich nicht so recht wie ich hier rangehen soll, also wie der Beweis genau zu führen ist und vor allem wie ich die Voraussetzungen mit einbinden muss. 

Hoffe auf eine schnelle Antwort, danke schonmal im Voraus!

Comments

Warum der Doppelpunkt am Schluss?

" R ist Äquivalenzrelation genau dann, wenn IdM ∈ R und R ∈ R^-1 • R: "

Ist die Behauptung so fertig? 

Answer 1

Hallo Lu, ich denke, dass die Behauptung komplett ist.

Hallo snowisblack, bitte informiere dich in Wikipedia und auf https://www.mathelounge.de/510160/sei-eine-zweistellige-relation-in-einer-nicht-leeren-menge über die Verkettung von Relationen und über Umkehrrelationen.

Die ∈ Zeichen in deiner Aufgabe müssen ⊆ Zeichen sein, denn Relationen sind Mengen.

Beweistrick Nr. 1:  „genau dann, wenn“ aufteilen in => und <=.

Schritt 1:  =>:  Siehe mein Bild.

Schritt 2:  <=:  Schon schwieriger, weiß ich gerade nicht.

Comments

weiß ich gerade nicht.

Nimm zur Inspiration die Teilmengen-Relation auf der Potenzmenge von {-1, 0, 1}.  

---

Hallo hj2166, leider hat mich dein Kommentar nicht zu irgendwas inspiriert.  Ich habe mal selber gerechnet, siehe Bild.  Hänge aber bei „transitiv“.  Hast du einen Tipp?  Oder wie geht deine Lösung?

 

---

Deine Beweisansätze sind alle grundsätzlich falsch.

Vielleicht hilft dir

R		a	b	c	d
a		•	•		•
b			•	•	•
c				•	•
d					•

um das einzusehen.

---

Hallo hj2166, vielen Dank für dein Beispiel.  Für dieses gilt sowohl
id_M ⊆ R
als auch
R ⊆ R^-1 * R.

Trotzdem ist es nicht symmetrisch.  Heißt das, die zu beweisende Aussage (siehe Aufgabenstellung ganz oben) ist falsch?

---

Trotzdem ist es nicht symmetrisch.

Das war schon mein erstes Beispiel nicht und dieses ist auch nicht transitiv.

Heißt das, die zu beweisende Aussage (siehe Aufgabenstellung ganz oben) ist falsch? 

Dass sie falsch wiedergegeben worden ist hast du ja schon festgestellt.
Wenn du eine Äquivalenz beweisen willst, dann darfst du  " ∈ "  nicht durch  " ⊆ "  ersetzen.
Versuche mal etwas anderes, bei der richtigen Ersetzung ist ein Beweis möglich.

---

Hallo hj2166, mir ist nicht klar, ob die Original-Aufgabenstellung korrekt ist oder nicht.  Einerseits schreibst du, sie ist falsch wiedergegeben, also falsch.  Andererseits schreibst du, ich darf ∈ nicht durch ⊆ ersetzen.  Also richtig.  Ist die Original-Aufgabenstellung jetzt richtig oder falsch?  Und, falls sie falsch ist, wie lautet sie richtig?

---

Sie könnte z.B. lauten :

R ist Äquivalenzrelation  ⇔ ID_(M) ⊆ R  und  R = R^{-1}oR

---

Hallo hj2166, das wäre ja was Anderes.  Muss ich drüber nachdenken.  Aber erst, wenn ich Feedback von snowisblack habe. 

Hallo snowisblack, bitte stelle uns den Scan deiner Aufgabe zur Verfügung.    Du weißt ja:  Shit in => Shit out.