Maximum einer Funktion f(x)

Question

Wenn das Maximum einer Funktion f(x) bestimmt werden soll, gilt f´(x)=0. Wenn man eine Stelle x herausgefunden hat, kann es trotzdem an den Rändern der Funktion ein Maximum geben? Oder genügt immer nur die notwendige Bedingung f´(x)=0?

Answer 1

Hallo Probe,

f '(x) = 0 + hinreichende Bedingung [ f "(x) ≠ 0) bzw. Vorzeichenwechsel von f ' ] ergibt erst einmal nur lokale Extremwerte. 

Funktionswerte an den Randstellen können größer als die der lokalen Maxima und damit globale Maxima sein. 

Lokale Extremwerte hat man an den Randstellen schon deshalb, weil die Funktion ja auf einer Seite dieser Stelle nicht definiert  ist.

Also:   Antwort ja

Beispiel:  f: [-2 ; ∞ [ → ℝ  ;  f(x) = -1/4 x² + x² 

 

Gruß Wolfgang

Answer 2

Wenn das Maximum einer Funktion f(x) bestimmt werden soll, gilt f´(x)=0. Wenn man eine Stelle x herausgefunden hat, kann es trotzdem an den Rändern der Funktion ein Maximum geben? 

Ja. 

Oder genügt immer nur die notwendige Bedingung f´(x)=0? 

Nein. "notwendig" bedeutet, dass etwas nötig ist. Beispielsweise: Um zu nähen brauchst du eine Nadel. Die Nadel ist "notwendig". Aber eine Nadel allein genügt nicht: Ohne Faden kannst du kein Loch zusammennähen.