f(x)= x/(1+x2) Df = ℝ ich würde sagen das ist nach oben mit 1 beschränkt und hat nach unten keine beschränkung aber die lösung ist OS=1 und US= -1 wie kommt das?
Gilt nicht -1/2 ≤ f(x) ≤ 1/2 ?
ja stimmt mit 1 kommt ja 1/2 raus.Kann es sein das 1 und -1 als obere bzw. unterschranke gesehen werden weil sie halt über 1/2 und unter -1/2 ist weshalb die aussage mit 1 und -1 nicht falsch wäre?
die Funktion ist stetig auf ℝ. Untersuche die Funktion nun auf Minima und Maxima und
betrachte das Grenzwertverhalten x --> ±∞. Schlussfolgere daraus den Wertebereich.
PS: deine angegebenen Lösungen sind nicht die größte/kleinste untere/obere Schranke
US=-1 kannst du so begründen:
f(x) ≥ -1
<=> x/(1+x^2) ≥ -1
<=> x ≥ -1*(1+x^2)
<=> x ≥ -1 - x^2
<=> x^2 +x + 1 ≥ 0
<=> x^2 +x + 1/4 -1/4 + 1 ≥ 0
<=> (x+1/2)^2 + 3/4 ≥ 0
und das gilt sicher für alle x ∈ ℝ.
Und wenn du mit -0,5 beginnst, klappt es auch.
0US=-1 kannst du so begründen:f(x) ≥ -1<=> x/(1+x2) ≥ -1<=> x ≥ -1*(1+x2) <=> x ≥ -1 - x2<=> x2 +x + 1 ≥ 0<=> x2 +x + 1/4 -1/4 + 1 ≥ 0<=> (x+1/2)2 + 3/4 ≥ 0
Wie kommst du auf den rot makierten schritt?
Nennt sich: "quadratische Ergänzung" .
siehe auch:
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