Vereinfachung einer Ableitung. 48 ( 4e^{-2x}(2e^{-x} + 3) - e^{-x}(2e^{-x} + 3)^2) / (2e^{-x} + 3)^4

Question

Ich finde Ableitungen eigentlich einfach nur bei der Vereinfachung habe ich am Ende oft Schwierigkeiten. Kann jemand mir diese erklären? Oder die einzelne schritte sagen?

48 ( 4e^{-2x}(2e^{-x} + 3) - e^{-x}(2e^{-x} + 3)^2) / (2e^{-x} + 3)^4

Answer 1

1.) (2 e^{-x} +3)  im Zähler ausklammern

2.) Kürzen von (2 e^{-x} +3)

3.) umschreiben  , allg gilt: (A-B)/C= A/C-B/C

4.) Zusammenfassen

5.) 48 e^x ausklammern

Answer 2

$$\frac{48\cdot  (4{e}^{-2x}\cdot (2{e}^{-x}+3)-{e}^{-x}\cdot {(2{e}^{-x}+3})^{2})}{{(2{e}^{-x}+3)}^{4}}\\$$

$$\frac{48\cdot 4{e}^{-2x}\cdot  (2{e}^{-x}+3)}{{(2{e}^{-x}+3)}^{4}}-\frac{48\cdot{e}^{-x}\cdot({{2e}^{-x}+3)}^{2}}{{({2e}^{-x}+3)}^{4}}\\\frac{192{e}^{-2x}}{{({2e}^{-x}+3)}^{3}}-\frac{48{e}^{-x}}{{({2e}^{-x}+3)}^{2}}$$

Ich hoffe das hilft weiter. Smitty

Answer 3

Mein Vorschlag immer alles auf einem Bruchstrich behalten:

(48 ( 4e^{-2x}(2e^{-x} + 3) - e^{-x}(2e^{-x} + 3)^2)) / (2e^{-x} + 3)^4

=( 48(2e^{-x} + 3) * ( 4e^{-2x} - e^{-x}(2e^{-x} + 3)) / (2e^{-x} + 3)^4

=( 48 ( 4e^{-2x} - e^{-x}(2e^{-x} + 3)) / (2e^{-x} + 3)^3

=( 48 ( 4e^{-2x} - 2e^{-x}e^{-x} - 3e^{-x})) / (2e^{-x} + 3)^3

=( 48 ( 4e^{-2x} - 2e^{-2x} - 3e^{-x})) / (2e^{-x} + 3)^3

=( 48 ( 2e^{-2x} - 3e^{-x})) / (2e^{-x} + 3)^3    | erweitern mit e^{3x} . [ unten  in der Klammer *e^x ]

= (48 (2e^x - 3e^{2x})/(2 + 3e^{x})^3     | oben e^x ausklammern

= (48 e^x (2 - 3e^{x})/(2 + 3e^{x})^3

Die haben noch ein Minus vor dem Bruchstrich, weil sie in der Klammer die Reihenfolge geändert haben. Das ist aber eher überflüssig.